Cours Math 2nd

  • Calcul Vectoriel - 2nd

    I. Addition vectorielle

    Activité

    Soient $A$ un point, $\vec{u}\ $ et $\ \vec{v}$ deux vecteurs du plan.
     
    1) Construire $B\ $ et $\ C$ tels que $\vec{u}=\overrightarrow{AB}\ $ et $\ \vec{v}=\overrightarrow{AC}.$
     
    2) Construire le point $D$ tel que $[BC]\ $ et $\ [AD]$ aient même milieu.
     

  • Barycentre - 2nd

    I. Définitions et propriétés

    Activité 

    Sur une droite $(D)$ muni d'un repère $(A\;,\ \overrightarrow{AB})$ on donne les points $C(4)\;,\ D(5)\;,\ E(9)$ et $F(-4).$
     
    Dans chacun des cas suivants trouver deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que :
     

  • Repère cartésien - 2nd

    Activité 

    Soit $ABC$ un triangle, $I$ milieu de $[BC]$ et $M$ un point défini par : $\overrightarrow{AM}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AI}$. La parallèle à $(AB)$ passant par $M$ coupe $(BC)$ en $P$ et la parallèle à $(AC)$ passant par $M$ coupe $(BC)$ en $Q$. On veut montrer que $I$ est le milieu de $[PQ]$. Soit le repère $(A\;;\ \overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AC}).$
     

  • Produit scalaire - 2nd

    I. Définitions

    I.1 Définition 1

    Soient $\vec{u}\ $ et $\ \vec{v}$ deux vecteurs non nuls, $A$ un point du plan. Il existe deux points $B\ $ et $\ C$ tels que $\overrightarrow{AB}=\vec{u}\ $ et $\ \overrightarrow{AC}=\vec{v}$

     

  • Calcul dans R - 2nd

    I. Ensemble de nombres

    Activité 

    1) Remplir le tableau suivant en mettant des croix si l'élément appartient à l'ensemble.
     
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
     & \mathbb{N} & \mathbb{Z} & \mathbb{D} & \mathbb{Q} & \mathbb{R} \\
    \hline
    0 &  &  &  &  &  \\
    \hline

  • Équation du second degré - 2nd

    I. Trinôme du second degré

    I.1 Définition

    On appelle trinôme du second degré, toute expression de la forme $$ax^{2}+bx+c\;;\quad a,\ b\ \text{ et }c\ \in\mathbb{R}\;;\quad  a\not=0$$

    I.2 Forme canonique d'un trinôme du second degré

    Soit $f(x)=ax^{2}+bx+c$ avec $a\neq 0$. On a :
     

  • Polynômes - 2nd

    I. Rappel de quelques égalités remarquables

    $\forall\;a,\ b\in\mathbb{R}$, nous avons les expressions suivantes appelées égalités remarquables :
     
    $\centerdot\ \ (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
     
    $\centerdot\ \ (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$
     

  • Série d'exercices : Repérage - 2nd

     

    Mesures algébriques 

    Exercice 1

    Les points $A\;,\ B\;,\ C$ et $D$ sont situés sur un axe de telle sorte que : $$\overline{AB}=-8\;;\quad \overline{BC}=12\ \text{ et }\ \overline{CD}=-6$$ 
    Calculer $\overline{AC}\;,\ \overline{AD}\;,\ \overline{BA}\;,\ \overline{BD}\;,\ \overline{DA}$ et $\overline{DB}.$

  • Série d'exercices : Fonctions - 2nd

    Exercice 1

    Déterminer les taux de variation des fonctions suivantes et dresser leur tableau de variation
     
    $f(x)=x^{2}\;,\quad g(x)=x^{2}-3x+1$
     
    $h(x)=\dfrac{1}{x}\;,\quad k(x)=\dfrac{x+2}{x-3}$
     
    $m(x)=\dfrac{x^{2}+5x+7}{x+3}\;,\quad f_{1}(x)=x^{3}-3x$

  • Devoir n° 32 - 2nd s

    Exercice 1 (8 points)

    Soit $p(x)=x^{4}-5x^{2}+4$
     
    1) Sachant que $p$ admet 4 racines $a\;,\ b\;,\ c\;,\ d$ que l'on ne calculera pas calculer $$a+b+c+d\;,\quad ab+ac+ad+bc+bd+cd\;,\quad abcd$$
    2) Sachant que $c=1$ et $d=2$ , en utilisant la première question déterminer $a$ et $b$
     
    3) On suppose $a=-1\;,\ b=-2$ résoudre $$p(-x)\leq 0\;,\quad p\left(x+\dfrac{1}{x}\right)=0$$ 

  • Devoir n° 31 - 2nd s

    Exercice 1 

    1) Soit $E=\sqrt{98}-3\sqrt{2}-2\sqrt{45}$
     
    a) Montrer que $E=4\sqrt{2}-6\sqrt{5}$
     
    b) Montrer que $E<0$
     
    2) Soit $F=-3\sqrt{2}-5\sqrt{5}$
     
    a) Montrer que $E-F=7\sqrt{2}-\sqrt{5}$
     
    b) Comparer $7\sqrt{2}$ et $\sqrt{5}$
     
    c) En déduire une comparaison de $E$ et $F$
     
    d) Comparer $E^{2}$ et $F^{2}$
     

  • Devoir n° 30 - 2nd s

    Exercice 1 (5 points)

    1) Calculer $A=\dfrac{\dfrac{1}{1-\pi}\dfrac{1}{1+\pi}}{1+\dfrac{1}{\pi^{2}-1}}$
     
    2) Simplifier $B=\dfrac{(0.07)^{2}\times 5^{4}\times 64}{(-7)^{3}\times(-5)^{5}\times 8^{2}}$
     
    3) Démontrer que : $3-\sqrt{2}=\sqrt{11-6\sqrt{2}}$
     
    4) Résoudre dans $\mathbb{R}$ :
     
    a) $|3-2x|+2010=0\quad$ b) $|5x+3|=x+7\quad$ c) $|x-2|<3$
     

  • Devoir n° 29 - 2nd s

    Exercice 1 

    Soit une base $(\vec{i}\;,\ \vec{j})\;$ du plan.
     
    1) Déterminer le réel $m$ pour que les vecteurs $\vec{w}=2\vec{u}-\vec{v}$ et $\vec{j}$ soient colinéaires sachant que $\vec{u}=2\vec{i}+7\vec{j}$ et $\vec{v}=m\vec{i}+(m-1)\vec{j}.$
     
    2) Exprimer alors $\vec{w}$ en fonction de $\vec{i}.$

    Exercice 2

  • Devoir n° 28 - 2nd s

    Exercice 1 

    Simplifier les expressions :
     
    $A=\left(1-\dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\right)\div\left(1+\dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\right)$
     
    $B=\left(\dfrac{x-y}{x+y}+\dfrac{x+y}{x-y}\right)\left(\dfrac{x^{2}+y^{2}}{2xy}+1\right)\left(\dfrac{xy}{x^{2}+y^{2}}\right)$
     
    $C=\dfrac{1}{a(a+b)}+\dfrac{2b}{a(a^{2}-b^{2})}-\dfrac{a+b}{ab(a-b)}$

    Exercice 2

  • Devoir n° 27 - 2nd s

    Exercice 1 

    $a\;,\ b\;,\ c\;,\ x\;,\ y\;,\ z$ sont des réels positifs ; montrer que : $$ax+by+cz\leq\sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})(x^{2}+y^{2}+z^{2})}$$

    Exercice 2

    On considère les réels $A$ et $b$ définies par :
     
    $A=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{4}\times\dfrac{5}{6}\times\ldots\times\dfrac{21}{22}\times\dfrac{23}{24}$  et $B=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{4}{5}\times\dfrac{6}{7}\times\ldots\times\dfrac{22}{23}\times\dfrac{24}{25}$

  • Devoir n° 26 - 2nd s

    Exercice 1 

    1) Résoudre les équations suivantes :
     
    a) $(2x^{2}-2x\sqrt{5}+1)(-2x^{2}-9x+5)=0$ 
     
    b) $\dfrac{x}{x+2}-\dfrac{5}{x^{2}-x-6}=\dfrac{5-2x}{x-3}$
     
    2) Résoudre les inéquations suivantes :
     
    a) $\dfrac{(x+1)(2x^{2}+x-1)}{-x^{2}+3x+10}\leq 0$
     
    b) $\dfrac{3x^{2}-6x+4}{2x^{2}-x-1}>2$
     
    3) Résoudre les systèmes suivants :
     

  • Devoir n° 25 - 2nd s

    Exercice 1 

    Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes :
     
    1) $3(x^{2}-x)^{2}-2(x^{2}-x)-1=0$ 
     
    2) $(4x^{2}-3x-1)(x^{2}+3x+5)\leq 0$
     
    3) $(1-2x)(-2x^{2}-3x-1)>0$
     
    4) $\dfrac{3x^{2}-4x-4}{-x^{2}+5x-4}\leq 0$

    Exercice 2

    Soit $ABC$ un triangle.
     

  • Devoir n° 24 - 2nd s

    Exercice 1 

    1) Résoudre les systèmes suivants : 
     
    a) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x-y&=&115 \\ x^{2}+y^{2}&=&117\end{array}\right.$ 
     
    b) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y&=&3 \\ \\ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}&=&-\dfrac{1}{6}\end{array}\right.$
     
    2) Résoudre les équations suivantes à l'aide d'un changement de variable :
     
    a) $2x^{4}-5x^{2}-3=0$ (poser $X=x^{2}$) 

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