Cours Math 2nd

  • Devoir n° 23 - 2nd s

     

    Exercice 1 

    Étant donné un triangle $ABC$ et un réel $\alpha\;$, on définit trois points $P\;,\ Q\;,\ R$ par : $$\overrightarrow{CR}=-\alpha\overrightarrow{CB}\;,\quad\overrightarrow{CQ}=\alpha\overrightarrow{CA}\;,\quad\overrightarrow{AP}=\alpha\overrightarrow{AB}$$
     
    1) Faire la figure pour $\alpha=-2.$
     
    2) Déterminer dans le repère $(A\;,\ B\;,\ C)$ les coordonnées des points $P\;,\ Q\;,\ R$ en fonction de $\alpha.$
     

  • Devoir n° 22 - 2nd s

    Exercice 1 

    Soient $\mathfrak{D}$ et $\mathfrak{D}'$ deux droites définies par : 
     
    $\mathfrak{D}\ :\ 2x-y+1=0$ et $\mathfrak{D}'\ :\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} x&=&1-at \\ y&=&b+3t\end{array}\right.\ (t\in\mathbb{R})$
     
    1) Déterminer un couple $(a\;,\ b)$ tel que : $\mathfrak{D}//\mathfrak{D}'.$
     
    2) Déterminer un couple $(a\;,\ b)$ tel que : $\mathfrak{D}=\mathfrak{D}'.$
     

  • Devoir n° 21 - 2nd s

     

    Exercice 1 

    Soit $ABCD$ un parallélogramme de centre $O.$
     
    1) Construire $K$ barycentre de $\{(B\;,\ 2)(C\;,\ -1)\}.$
     
    Montrer que $B$ est le milieu du segment $[KC].$
     
    2) Quel est barycentre de $\{(D\;,\ 2)(D\;,\ 1)\}\;$ ?
     
    3) Soit $I$ le barycentre de $\{(D\;,\ 2)(B\;,\ 2)(C\;,\ -1)\}.$
     
    a) Montrer que $I$ est l'intersection des droites $(DK)$ et $(OC).$

  • Devoir n° 20 - 2nd s

    Exercice 1 

    1) a) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $x^{2}-20x+64=0.$
     
    b) En déduire les solutions de chacune des équations suivantes :
     
    $\centerdot\ x^{2}-20x+64=0\quad \centerdot\ (5x-x^{2})^{2}-20(5x-x^{2})+64=0.$
     
    2) Résoudre dans $\mathbb{R}$ :
     
    a) $|3x^{2}+3x-3|=|x^{2}+x+1|$ 
     
    b) $\dfrac{2x^{2}+3x-5}{-2x^{2}-10x-12}\leq 0$

  • Devoir n° 19 - 2nd s

     

    Exercice 1 

    On donne un triangle $ABC.$ Pour tout point $M$ du plan, on pose $$\overrightarrow{f(M)}=2\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}$$
     
    1) $N$ désignant un point quelconque du plan, prouver que : $\overrightarrow{f(M)}=\overrightarrow{f(N)}.$
     
    2) Construire $G_{1}$ barycentre de $\{(B\;,\ -3)(C\;,\ 1)\}.$ 
     
    Montrer que : $\overrightarrow{f(M)}=2\overrightarrow{G_{1}A}.$
     

  • Devoir n° 18 - 2nd s

     

    Exercice 1 

    1) Étant donné un triangle $ABC\;$, construire les points $I\;,\ J$ et $K$ définis par :
    $\centerdot\ I$ est barycentre de $\{(A\;,\ 2)(C\;,\ 1)\}$ 
     
    $\centerdot\ J$ est barycentre de $\{(A\;,\ 1)(B\;,\ 2)\}$
     
    $\centerdot\ K$ est barycentre de $\{(C\;,\ 1)(B\;,\ -4)\}$ 
     
    2) Démontrer que $B$ est barycentre de $\{(K\;,\ 3)(C\;,\ 1)\}.$
     

  • Devoir n° 17 - 2nd s

     

    Exercice 1 

    Soient $A\;,\ B$ et $C$ trois points non alignés tels que $AB=6\;cm\;,\ BC=3\;cm\;;\ I$ le barycentre du système $\{(A\;,\ 1 )( B\;,\ 2 )\}\;,\ J$ le barycentre de $\{(A\;,\ 1)( B\;,\ 2)(C\;,\ 3)\}.$
     
    1) Construire $I$ et $J.$
     
    2) Montrer que $J$ est le milieu de $[IC].$
     
    3) Trouver l'ensemble des points $M$ vérifiant :
     

  • Devoir n° 16 - 2nd s

     

    Exercice 1 (12 point)

    1) Écrire sous forme canonique $-5x^{2}+2x-3.$
     
    2) Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :
     
    a)  $2x^{2}-5x+3=0\quad$ b) $8x^{2}+8x+2=0\quad$ c) $-3x^{2}+x-1=0$
     
    3) On considère la fonction $f\ :\ \mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}.$ Déterminer l'ensemble de définition de $f.$
     

  • Devoir n° 15 - 2nd s

    Algèbre (11 Points)

    Exercice 1 (1 point)

    On donne $a=-0.0007\;,\ b=2\times 10^{2}$ et $c=6\times 10^{3}$
    Écrire le nombre $A$ sous la forme $2^{n}3^{m}5^{p}7^{q}.$
    $$A=\dfrac{(x^{2}y^{-2})^{-5}}{(z^{-2}y^{-3})^{-2}}$$

    Exercice 2 (2.5 points)

    Les dénominateurs étant supposés non nuls, écrire plus simplement possible les nombres suivants :

  • Devoir n° 14 - 2nd s

    Géométrie

    Exercice 

    Soit $ABC$ un triangle quelconque.
     
    1) Construire les points $D$ et $E$ tels que : $ABCD$ soit un parallélogramme et $E$ soit le symétrique de $A$ par rapport à $D.$
     
    2) On désigne par $O$ le centre de $ABCD$ et par $I$ le milieu de $[DC]\;;\ (AI)$ coupe $(BD)$ en $J$ et la parallèle à $(BC)$ passant par $J$ coupe $(AB)$ en $K.$ On note $H$ le milieu de $[JK].$
     

  • Devoir n° 13 - 2nd s

     

    Exercice 1

    $a\;,\ b\;,\ c\;,\ d$ sont des réels non nuls tels que :  $4a+3b\neq 0$ et $4c+3d\neq 0.$
     
    Montrer que si $ab=cd\;$, alors :
     
    1) $\dfrac{3a-2b}{4a+3b}=\dfrac{3c-2d}{4c+3d}$
     
    2) $\dfrac{a^{2}+b^{2}}{ab}=\dfrac{c^{2}+d^{2}}{cd}$
     
    3) $\dfrac{a}{b}=\sqrt{\dfrac{a^{2}+c^{2}}{b^{2}+d^{2}}}$ 

    Exercice 2

  • Devoir n° 12 - 2nd s

    Exercice 1

    On donne les encadrements : $-2.7\leq a\leq -2.6$ et $-0.3\leq b\leq -0.2$
     
    Encadrer $a+b\;,\ a-b\;,\ ab\;,\ \dfrac{a}{b}$ et $\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}$.

    Exercice 2

    Soient deux réels $x\;,\ y$ strictement positifs.
     
    1) Démontrer que : $\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}\leq\dfrac{1}{2xy}$ et que : $\dfrac{x+y}{x^{2}+y^{2}}\leq\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)$.
     

  • Devoir n° 11 - 2nd s

    Exercice 1

    1) Factoriser les expressions suivantes :
     
    $A=(a^{2}+b^{2}+c^{2}-d^{2}-2ab)^{2}-4c^{2}(a-b).$
     
    $B=a^{4}+b^{4}+a^{2}b^{2}.$
     
    2) Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes :
     
    a) $|-2x+3|\leq 6\quad$ b) $|3x+2|>4\quad$ c) $|-x+9|<x+2\quad$ d) $|x+1|+|-x+2|=5$
     

  • Devoir n° 10 - 2nd s

    I Algèbre 

    Exercice 1

    1) Étudier le signe, puis calculer les carrés des réels suivants :
    $$X=\sqrt{5}-\sqrt{6}\;,\quad Y=\sqrt{5}-\sqrt{2}\;,\quad Z=\sqrt{6}+\sqrt{2}$$
    2)En déduire une écriture simplifiée des nombres :
    $$A=\sqrt{11-2\sqrt{30}}\;,\quad B=\sqrt{7-2\sqrt{10}}\;,\quad C=\sqrt{2+\sqrt{3}}$$
    3) Trouver trois nombres réels non nuls tels que : $$\dfrac{a}{A}+\dfrac{b}{B}+\dfrac{c}{C}=0$$

  • Devoir n° 9 - 2nd s

    Exercice 1

    Dans un triangle $ABC\;$, on désigne par $M$ le milieu de $[AB]\;$, par celui de $[MC]$ et $K$ le point tel que : $$\overrightarrow{CK}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CB}$$
     
    1) Montrer que $\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}.$
     
    2) En déduire que les points $A\;,\ I\;,\ K$ sont alignés.

  • Devoir n° 8 - 2nd s

    Exercice 1

    1) Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes : 
     
    a) $|x+1|+|-x+3|\quad$ b) $\dfrac{2x+1}{x+2}=\dfrac{2x-3}{x-1}$.
     
    2) Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes : 
     
    a) $|-2x+7|\leq 5\quad$ b) $(x^{2}-4)+(x+2)\geq 0.$

    Exercice 2

    1) Démontrer que, pour tout entier naturel non nul : $$1-\dfrac{1}{n^{2}}=\dfrac{n-1}{n}\times\dfrac{n+1}{n}$$

  • Devoir n° 7 - 2nd s

    Exercice 1

    Sachant que : $-1.5<x<-0.75$ et $0.53<y<1.27\;$, encadrer
    $$x+y\;,\quad y-x\;,\quad xy\quad\text{ et }\quad\dfrac{x}{y}$$

    Exercice 2

    Soit $A=\sqrt{\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}}+\sqrt{\dfrac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}}$. Calculer $A^{2}.$
     
    En déduire une expression simple de $A.$

    Exercice 3

  • Devoir n° 6 - 2nd s

    Exercice 1

    Soit $f(x)=|2x-4|-|x-1|$
     
    1) Résoudre l'équation : $f(x)=0.$
     
    2) Écrire $f(x)$ sans valeur absolue.
     
    3) En déduire les solutions des équations :
     
    a) $f(x)=3\quad$ b) $f(x)=x+1\quad$ c) $f(x)\leq x+4.$ 

    Exercice 2

    1) Traduire la double inégalité : $2\leq x\leq 5$ à l'aide de la valeur absolue.
     

  • Devoir n° 5 - 2nd s

    Exercice 1

    1) Écrire sous la forme $2^{m}3^{n}5^{p}\ (m\;,\ n\;,\ p$ entiers relatifs) l'expression suivante : $$A=\dfrac{(0.09)^{-3}\times(0.16)^{2}\times 25}{(0.0075)^{-1}\times 810^{3}}$$
    2) Simplifier l'expression suivante : $$B=\dfrac{a^{8}\times(b^{2}c^{3}d^{-1})^{5}}{-b^{4}c^{2}(ad^{-2})^{3}}$$ 

    Exercice 2

    Soient 4 entiers consécutifs $n-1\;,\ n\;,\ n+1\;,\ n+2\ (n>0).$
     

  • Devoir n° 4 - 2nd s

    I Algèbre 

    Exercice 1

    1) Après avoir précisé la condition de son existence, simplifier l'expression suivante : $$A=\dfrac{a^{2}}{(a-b)(a-c)}+\dfrac{b^{2}}{(b-c)(b-a)}+\dfrac{c^{2}}{(c-a)(c-b)}$$
    2) Soit $f(x)=\dfrac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}$. Montrer que : $$f\left[\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{\dfrac{a}{b}}-\sqrt{\dfrac{b}{a}}\right)\right]=\dfrac{a+b}{a-b}$$ (on supposera $a$ et $b$ positifs et distincts).
     

  • Devoir n° 3 - 2nd s

    Exercice 1

    Soit $ABC$ un triangle quelconque .
     
    1) Construire les points $M$ et $N$ tels que : $$\overrightarrow{AM}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\ \text{ et }\ \overrightarrow{AN}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}$$
    2) Démontrer que $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles .
     

  • Devoir n° 2 - 2nd s

    Exercice 1

    1) Simplifier les expressions suivantes lorsqu'elles sont définies :
     
    $A=\dfrac{3x^{2}}{2x^{3}+3x^{2}y}-\dfrac{2y^{2}}{2xy^{2}-3y^{3}}+\dfrac{12xy^{2}}{4x^{3}y-9xy^{3}}$
     
    $B=\left(\dfrac{(-a)^{3}b}{c}\right)^{3}\div\dfrac{[(-a^{2})^{5}b^{-2}(-c^{-3})^{2}]^{-2}}{[a^{2}(-b)(-c^{-2})^{3}]^{-1}}$
     

  • Solutions des exercices : Systèmes d'équations et d'inéquations à deux inconnues - 2nd

    Exercice 1

    1) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} 4x+5y+3&=&-7 \\ 3x-2y&=&12\end{array}\right.$
     
    $D=\begin{vmatrix} 4&5 \\ 3&-2\end{vmatrix}=-8-15=-23$
     
    $D_{x}=\begin{vmatrix} -7&5 \\ 12&-2\end{vmatrix}=-46\ \Rightarrow\ x=\dfrac{D_{x}}{D}=\dfrac{-46}{-23}=2$
     
    $D_{y}=\begin{vmatrix} 4&-7 \\ 3&12\end{vmatrix}=69\ \Rightarrow\ y=\dfrac{D_{y}}{D}=\dfrac{69}{-23}=-3$
    $$S=\{(2\;;\ -3)\}$$

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