BAC S SPECIALITE Nouvelle--Calédonie décembre 1999

Soit $n$ un entier naturel non nul, on considère les entiers suivants : $N=9n+1$ et $M = 9n - 1$.

1. On suppose que $n$ est un entier pair. On pose $n = 2p$, avec $p$ entier naturel non nul.
    
         a. Montrer que $M$ et $N$ sont des entiers impairs.
         b. En remarquant que $N = M + 2$, déterminer le PGCD de $M$ et $N$.
    
2. On suppose que $n$ est un entier impair. On pose $n = 2p + 1$ , avec $p$ entier naturel.
    
        a. Montrer que $M$ et $N$ sont des entiers pairs.
        b. En remarquant que $N = M + 2$, déterminer le PGCD de $M$ et $N$.
    
3. Pour tout entier naturel non nul $n$, on considère l'entier $81n^2 - 1$.
    
        a. Exprimer l'entier $81n^2 - 1$ en fonction des entiers $M$ et $N$.
        b. Démontrer que si $n$ est pair alors $81 n - 1$ est impair.
        c. Démontrer que $81 n^2 - 1$ est divisible par 4 si et seulement si $n$ est impair.