Bac mathématique série F6 - 2026

Soit $P$ le polynôme dans $\mathbb{C}$ définie par : $P(z)=z^{3}-2(1+2\mathrm{i})z^{2}+7\mathrm{i}z+2(1-3\mathrm{i})$

1. Montrer que $P$ admet une racine imaginaire pure que l'on déterminera.

2. Résoudre alors l'équation : $P(z)=0$

3. Dans le plan complexe, on considère les points $A(3i)$, $N(1-i)$ et $C(1+2i)$

Déterminer l'affixe $z_{D}$ du point $D$ tel que le quadrilatère $ACBD$ soit un parallélogramme.

4. Les points $C$. $D$ et $E(2)$ représentent les positions respectives de $3$ villages d'un même terroir.

Un fils du terroir souhaiterait offrir un forage aux $3$ villages à une position équidistante  des trois villages.

Quel devrait l'affixe $\omega$ du point $\Omega$ représentant la position du forage ?

Une entreprise pharmaceutique souhaite expédier des échantillons de médicaments dans des caisses.

Le prototype de caisse est représenté, dans l'espace muni d'un repère orthonormé direct $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$, par la figure $ABCS$ où $A(4\;,0\;,0)$, $B(0\;,4\;,0)$, $C(0\;,0\;,4)$ et $S(4\;,4\;,4)$ représentent les sommets de la caisse.

L'unité est le décimètre.

1. Justifie que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.

2. Déterminer une équation cartésienne du plan $ABC$ 

3. Justifie que les points $A$, $B$, $C$ et $S$ sont les sommets d'un tétraèdre.

4. L'entreprise souhaite remplir ces caisses avec des petites boîtes de médicaments parallélépipédiques de dimensions $5\,cm$, $3\,cm$ et $2\,cm$

Quel est le nombre maximum de boîtes que pourrait contenir une caisse ? 

Soit $g$ la fonction définie sur $]0\;,+\infty[$ par : $g(x)=\dfrac{2}{x+1}-\dfrac{1}{2}\ln x-1$

1. Calculer les limites de $g$ en $0^{+}$ et en $+\infty$

2.a. Calculer l'expression $g'(x)$ de la fonction dérivée $g'$ de $g$

b. En déduire le sens de variation de $g$ sur $]0\;,+\infty[$

3. Calculer $g(1)$ puis en déduire le signe de $g(x)$ sur chacun des intervalles $]0\;,1]$ et $[1\;,+\infty($

Partie II

On considère la fonction $f$ définie sur $]0\;,+\infty[$ par : $f(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x+1}-\dfrac{1}{2}\ln x$ et on note $(C)$ sa courbe  représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé $\left(O\ ;\ \vec{i}\,\vec{j}\right)$ d'unité graphique $2\,cm$

1.a. Calculer la limite en $1$ de $f(x)$, puis  interpréter géométriquement le résultat obtenu

b. Calculer la limite en $+\infty$ de $f(x)$ puis calculer la limite en $+\infty$ de $\dfrac{f(x)}{x}$

c. Calculer la limite en $+\infty$ de $[f(x)-x]$, puis interpréter géométriquement le résultat

2.a. Montrer que tout réel $x$ appartenant à $]0;,+\infty[\;,f(x)-x=g(x)$

b. En déduire la position de $(C)$ par rapport à la droite $(\Delta)$ d'équation $y=x$

3.a. Montrer que $f$ est dérivable sur $]0\;,+\infty($ et que pour tout réel $x$ appartenant à $]0 \;,+\infty[$, on a :
$$f'(x)=\dfrac{(x-1)\left(2x^{2}+5x+1\right)}{2x(x+1)^{2}}$$

b. Dresser le tableau de variations de $f$

4.a. Tracer $(C)$ et la droite $(\Delta)\ :\ y=x$ dans le plan muni du repère $\left(O\ ; \vec{i}\;,\vec{j}\right)$

Soit $G$ la fonction définie sur $]0\;,+\infty($ par $G(x)=2\ln(1+x)-\dfrac{1}{2}x\ln x-\dfrac{x}{2}$

1. Montrer que $G$ est une primitive de $g$ sur $]0\;,+\infty[$

2. Calculer en $cm^{2}$ l'aire du domaine délimité par $(C)\;,(\Delta)$ et les droites d'équations $x=1$ et $=2$