Bac mathématique série : S2-S2A-S4-S5 - 2026

Pour tout nombre complexe $z$, on pose :
$$P(z)=z^{3}-(4+11\vec{i})z^{2}+(-33+32\vec{i})z+60+27\vec{i}$$

1.a. Calculer $P(3\vec{i})$

b. Déterminer $g(z)$ tel que $P(z)=(zz-3\vec{i}g(x)$

c. Trouver les racines de $g$

2. Le plan est muni d'un repère orthonormé direct.

Les points $A$, $B$ et $C$ ont pour affixes respectives

$z_{A}=3+2\vec{i}$, $z_{B}=3\vec{i}$ et $z_{C}=1+6\vec{i}$

Soit $D$ le barycentre du système $\left\lbrace(A\;,1)\;,(B\;,1)\;,(C\;,1)\right\rbrace$ et $z_{D}$ sont affixe

a. Calculer les distances $AB$, $AC$ et $BC$, puis en déduire la nature du triangle $ABC$

b. Vérifier que $z_{D}=4+5\vec{i}$

c. Déterminer le module et un argument de $\dfrac{z_{A}-z_{D}}{z_{C}-zz_{D}}$, puis en déduire la nature du triangle $DAC$

3; Montrer que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon 

4. On pose $Z=\dfrac{-zzB(1+\vec{i}}{1+\vec{i}\sqrt{3}}$

a. Écrire $Z$ sous forme algébrique

b. Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes $-z_{B}(1+\vec{i})$ et $1+\sqrt{3}$

c. En déduire le module et un argument de $Z$, puis les valeurs exactes de $\cos\left(\dfrac{-7\pi}{12}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{-7\pi}{12}\right)$

En prévision de l'élection du maire d'une ville, prévue en $2027$, entre deux candidats $A$ et $B$, un institut de
sondage recueille les intentions de vote de futurs électeurs.

Parmi les personnes interrogées, $1200$ ont déclaré leur intention de vote. 

Les $47\%$ affirment vouloir voter pour le candidat $A$ et les autres pour le candidat $B$

Compte-tenu du profil des candidats, l'institut de sondage estime que $10\%$ des personnes déclarant vouloir
voter pour le candidat $A$ ne disent pas la vérité et votent en réalité pour le candidat $B$, tandis que $20\%$ des personnes déclarant vouloir voter pour le candidat $B$ ne disent pas la vérité et votent en réalité pour le candidat $A$

Un agent de l'institut estime qu'il y a $529$ chances sur $1000$ pour qu'une personne choisie vote effectivement
pour le candidat $A$

Consigne : A l'aide des informations  fournies et les outils mathématiques au programme, confirme  ou infirme les propos de l'agent.

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x)=\dfrac{e^{x}}{1+2e^{x}}-\ln\left(1+2e^{x}\right)$

1. Dresser le tableau de variation de $g$

2. En déduire que : $\forall x\in\mathbb{R}\;,g(x)<O$

Soit la fonction $f$ définie par : $f(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcl} e^{-2x}\ln\left(1+2e^{x}\right)&\text{ si }&x\geq 0\\ x+\ln\left|\dfrac{3x-3}{x+1}\right|&\text{ si }&x<0 \end{array}\right. \text{ et }\left(C_{f}\right)$

sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé $\left(O\ ;\ \vec{i}\;,\vec{j}\right)$ d'unité $1\,cm$

1. Montrer que l'ensemble de définition $D_{f}$, de $f$ est égal à $\mathbb{R}\setminus\left\lbrace -1\right\rbrace$

2. Démontrer que $f$ est continue en $0$

3. Exprimer $f(x)$ sans la notation "valeur absolue"  

4.a. Étudier la dérivabilité de $f$ à gauche en $0$ et interpréter géométriquement le résultat obtenu

b. On suppose que $f$ est dérivable à droite en $0$ et que $f^{'}_{d}(0)=-\ln 3+\dfrac{2}{3}$

$f$ est-elle dérivable en $0$ ?

Justifier 

5. Pour $x\geq 0$, on pose $t=1+2e^{x}$

a. Montrer que $f(t)=\dfrac{4t}{(t-1)^{2}}\times \dfrac{\ln t}{t}$

b. En déduire la limite de $f$ en $+\infty$ et interpréter graphiquement le résultat obtenu .

6. Étudier les limites de $f$ en $-\infty$ e en $-1$ 

Interpréter graphiquement, si possible, les résultats obtenus

7. Montrer que la droite $(D)$ d'équation $y=x+\ln 3$ est asymptote à $\left(\mathbb{C}\right)$ en $-\infty$

8. Montrer que :

a. $\forall x\in]0\;,+\infty[\;,f'(x)$

b. $\forall x\in]-\infty\;,-1[\cup]-1\;,0[\;,(x)=\dfrac{x^{2}+1}{y^{2}-1}$

9. Étudier le signe de $f'$ et dresser le tableau de variations de $f$

10. Construire $\left(C_{f}\right)$ et ses asymptotes.

Soit $h$ la restriction de $f$ à l'intervalle $]-\infty\;,-1[$

1. Montrer que $h$ est une bijection de $]-\infty\;,-1($ sur un intervalle à préciser.

2. Construire la courbe $\left(C_{h^{-1}}\right)$ de $h^{-1}$, bijection réciproque de $h$ ainsi que ses asymptotes dans le plan muni du même repère.