Bac mathématique série - T2 - 2026

I. On considère dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E)$ suivante : $z^{3}-(1+2i)z^{2}+3(1+i)z-10(1+i)=0$

1. Montrer que l'équation $(E)$ admet une seule solution imaginaire pure que l'on déterminera.

2.a. Déterminer les racines carrées du nombre complexe $5-12i$

b.Résoudre alors dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E)$

II. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé $\left(O\ ;\ \vec{u} \;,\vec{v}\right)$, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respective $z_{A}=-2i\;,z_{B}=2+i$ et $z_{c}=-1+3i$

1. Placer les points $A$, $B$ et $C$ dans le plan complexe

2. Déterminer l'argument principal de $\dfrac{z_{C}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}}$, puis celui de $\dfrac{z_{B}-z_{C}}{z_{A}z_{C}}$

3. En déduire la nature exacte du triangle $ABC$

4. Dans une vaste savane représentée par le plan complexe, il y a une zone herbacée représentée par l'ensemble des points $M$ tel que : $\left|\left|7\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}\right|\right|< 13$

Un mouton attaché à une position représentées par le point $D(2+2i)$ avec une corde de longueur $2$ pourra-t-il brouter dans la zone herbacée ?

Pour stocker ses récoltes, une petite entreprise agricole souhaite construire un hangar ayant la forme d'un tétraèdre irrégulier pour s'adapter à une zone accidentée.

Les ingénieurs ont modélisé la structure dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$ où l'unité est le mètre

Les quatre sommets du hangar sont représentés par les points $A(2\;,0\;,0)\;,B(0\;,4\;,0)\;,C(0\;,0\;,3)$ et $S(x\;,y\;,6)$

1. Justifier que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan

2. Pour des raisons de stabilité, le projeté orthogonal du sommet $S$ sur le plan $ABC$ doit coïncider avec le centre de gravité $G$ du triangle $ABC$

a. Montrer que le point $G$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{2}{3}\;,\dfrac{4}{3}\;,1\right)$

b. En déduire que $x=\dfrac{49}{6}$ et $y=\dfrac{61}{12}$

3. Le hangar est destiné à stocker des graines dont la masse volumique est $600\,kg/m^{3}$

Sachant que graines sont emballées dans des sacs de $50$ kilogrammes, déterminer le nombre maximal de sacs que pourrait contenir ce hangar.

On négligera le volume occupé par les sacs vides.

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=(x-1)e^{x}-3$

1. Déterminer les limites de $g$ en $-\infty$ et en $+\infty$

2. Calculer l'expression $g'(x)$ de la dérivée de $g$,  étudier son signe puis établir le tableau de variations de $g$

3.a. Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ et que $1<\alpha < 2$

b. En déduire le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$

Étude de la fonction principale 

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=(x+1)e^{-2x}-3x$

On note $(C)$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormé $\left(O\ ;\ \vec{i}\;,\vec{j}\right)$ $\text{L'unité graphique est }2\,cm)$

1.a. Déterminer alors la limite de $f$ en $-\infty$

b.i. Vérifier que pour tout réel $x$ non nul, on a : $f(x)=x\left[\dfrac{1}{e^{2x}}+\dfrac{1}{xe^{2x}}-3\right]$

b.ii. Déterminer alors la limite de $f$ en $-\infty$

2.a. Montrer que la droite $(D)$ d'équation : $y=-3x$ est asymptote à la courbe $(C)$ en $+\infty$

b. Étudier, en fonction des valeurs de $x$, les positions relatives de $(D)$ et $(C)$

3.a. Vérifier que pour tout réel $x$, on a : $f'(x)=g(-2x)$

b. Montrer alors que $f'(x)\geq 0$ si, et seulement si $x$ appartient à $\left]-\infty\;,\dfrac{a}{2}\right]$

c. Dresser le tableau de variation de $f$

4.a Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à $(C)$ en son point $A$ d'abscisse $0$

b. Tracer $(C)$ la tangente $(T)$ et l'asymptote $(D)$ dans le plan muni du repère $\left(
O\ ;\ \vec{i}\;,\vec{j}\right)$

5. Soit $I=\int_{0}^{1}(x+1)e^{-2x}dx$

a. Calculer $I$ à l'aide d'une intégration par parties.

b. En déduire l'aire du domaine plan, en $cm^{2}$, délimitée par la courbe $(C)$, la droite $(D)$ et les droites d'équation $x=-1$ et $x=0$