Bac mathématique S1-S1A-S3 - 2026

Les agents du service chargé de sécuriser les épreuves d'un concours communiquent entre eux en utilisant un système de codage qui fonctionne de la manière suivante :

A chaque lettre d'un message, on associe son rang $x$ dans l'alphabet français

Ainsi, $A\longrightarrow 0$ ; 

$B \longrightarrow 1$ ; 

$\ldots Z\longrightarrow 25$

La lettre codée correspond à la lettre initiale est celle dont le rang dans l'alphabet français est le nombre $y$ tel que $y \equiv 7x+\beta [26]$, où $\beta$ est le reste de $5^{\left(2^{\delta}-1\right)}$ dans la division euclidienne par $2^{\delta}-1$,  le nombre $\delta$ étant donné en base $16$ par : $\delta=\overline{189E1}-\overline{187D8}$

1. Soient $l$ et $k$ deux entiers naturels non nuls

a. Montre que $2_{lk}-1$ est divisible par $2^{l}-1$ et $2^{k}-1$

b. En déduire que pour tout entier naturel $\mathfrak{P}$, si $2^{\mathfrak{p}}-1$ est premier, alors $\mathcal{P}$ est premier.

c. Le nombre $\Gamma=2^{11}-1$ est-il premier ? 

Que pensez-vous alors de la réciproque de la proposition résultat de la question $b.$

2. Montrer que $\delta=521$, puis justifier que $\delta$ est un nombre premier

3. En admettant que $2^{\delta}-1$ est un nombre premier, montrer que $\beta=5$

On pourra utiliser le petit théorème de Fermat dont l'énoncé est le suivant :

Pour tout nombre $P$ et pour tout entier naturel non nul $x$, on a : $x^{\mathcal{P}} \equiv x[\mathcal{P}]$

4. Montrer que l'équation $y\equiv 7x+5[26]$ est équivalente à l'équation $x \equiv 15y+[26]$

1.a. Montre que la lettre codée correspondant à la lettre $N$ est $S$

b. Déterminer le message qui code le message $NGOR$

2. Un des agent a reçu un message codé $LFIC$ 

Décoder ce message.

On dispose de trois urnes $U_{1}$, $U_{2}$ et $U_{3}$ : 

L'urne $U_{1}$ contient $10$ jetons numérotés de $11$ à $20$ ; 

l'urne $U_{2}$ contient trois boules marquées $0$, deux boules marquées $4$, une boule marquée $6$

l'urne $U_{3}$ contient deux boules marquées $0$, trois boules marquées $4$ et une boule marquée $6$

Dans chaque urne, les éléments sont indiscernables au toucher

Une épreuve consiste d'abord à tirer  simultanément deux jetons de l'urne $U_{1}$ : 

$\surd $si on obtient deux nombres premiers, on tire successivement avec remise deux boules dans $U_{2}$ ; 

$\surd $sinon, on tire successivement sans remise deux boules dans $U_{3}$

Dans chacun des cas, le nombre marqué sur la première boule est noté $\alpha$ et celui marqué sur la deuxième boule noté $\beta$

A chaque résultat $\left(\alpha\;,\beta\right)$ de l'épreuve, on associe l'application $\Psi_{\alpha\;,\beta}$ du plan complexe muni du repère orthonormé direct $\left(O\ ;\ \overrightarrow{e_{1}}\;,\overrightarrow{e_{2}}\right)$ dans lui-même qui, à tout point $M(z)$ associe la point $M'(z')$ tel que :
$$z'=\dfrac{\alpha}{4}e^{\dfrac{i\pi \beta}{24}}zz+i$$

1. Montrer que la probabilité pour que $\psi_{\alpha\;,\beta}$ soit une isométrie est $\dfrac{43}{90}$

2. Calculer la probabilité pour que $\psi_{\alpha\;,\beta}$ soit une translation

3. Calculer la probabilité pour que $\psi_{\alpha\;,\beta}$ soit une homothétie

4. Calculer la probabilité pour que $\psi_{\alpha\;,\beta}$ soit une rotation

5. On effectue cette épreuve $n$ fois de suite $\left(n\leq 2\right)$ et de manière indépendante

Déterminer la plus petite valeurs de $n$ pour être sûr à au moins $99\%$ obtenir au moins une fois une isométrie.

On note $S=t\circ \psi_{2.6}$, où $t$ est la translation de vecteur $-\overrightarrow{e_{2}}$ et $\mathfrak{H}$ la courbe d'équation : $x^{2}-2x-4y^{2}=0$

1.a Montrer que $\mathfrak{H}$ est une hyperbole dont on déterminera le centre $\Omega$ et l'excentricité $e$

b. Construire la courbe $\mathfrak{H}$ avec ses asymptotes.

c. Montrer que l'image $\mathfrak{H}'$ de $\mathfrak{H}$ par $S$ a pour équation cartésienne dans le repère $\left(O\ ;\overrightarrow{e_{1}}\;,\overrightarrow{e_{2}}\right)$
$$3x^{2}+3y^{2}-10xy+\sqrt{2}x+\sqrt{y}x=0$$

2. On pose : $\overrightarrow{u}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}\right)$ et $\overrightarrow{v}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\overrightarrow{-e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}\right)$

a. Justifier que le repère $\left(O\;,\overrightarrow{u}\;,\overrightarrow{v}\right)$ est orthonormé direct.

b. Déterminer une équation cartésienne de la courbe $\mathfrak{H}'$ dans le repère $\left(O\ ;\ \vec{u}\;,\vec{v}\right)$

c. Montrer que $\mathfrak{H}'$ est une hyperbole dont on précisera le centre et les foyers

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on définit la fonction $f_{n}$ sur $\mathbb{R}$ par $f_{n}(x)=\dfrac{1}{n!}(2+x)^{n}e^{-x}$

On note $\left(C_{n}\right)$ la courbe représentative de $f_{n}$ dans le plan muni d'un repère orthonormé $\left(O\ ;\ \vec{i}\;,\vec{j}\right)$

1.a. Étudier les variations de $f_{1}$ et dresser son tableau de variations.

b. Tracer $\left(C_{1}\right)$

On précisera sa tangente $T_{1}$ au point d'abscisse $-2$

2. Soit $\beta$ un réel tel que $\beta >-2$

a Déterminer, en unité d'aire, l'aire $A(\beta)$ du domaine délimité par $\left(C_{1}\right)$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=-2$ et $x=\beta$

b. Déterminer la limite de $A(\beta)$ quand $\beta$ tend vers $+\infty$, pis interpréter géométriquement le résultat 

On suppose dans cette partie que $n$ est supérieur ou égale à $2$

1. Étudier les limites de $f_{n}$ en $-\infty$ en $+\infty$

2.a. Montrer que $f_{n}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ puis calculer $f_{n}^{'}(x)$ pour tout réel $x$, où $f_{n}^{'}$ est dérivable de $f_{n}$

b. Dresser le tableau de variation de $f_{n}$ suivant la parité de $n$

c. Justifier que $f_{n}$ admet un maximum $y_{n}$ sur $[-2\;,+\infty]$ et que : $y_{n}=\dfrac{e^{n}}{n!}\left(\dfrac{n}{e}\right)^{n}$

3.a. Pour tout $x$ appartement à $]-2\;,+\infty[$, calculer $\dfrac{f_{n+1}(x)}{f_{n}(x)}$, puis en déduire que $y_{n+1}=f_{n}(n-1)$

b. Étudier alors le sens de variation de la suite $\left(y_{n}\right)$

c. Montrer que $\left(y_{n}\right)$ est convergente

On admettra pour la suite que $\left(y_{n}\right)$ convergente vers $0$

Pour tout entier naturel $n$ non nul et tout réel $x$ appartenant à $[-2\;,+\infty[$, on définit l'intégrale $I_{n}(x)$ par :$$\ln(x)=\int_{-2}^{x}fn(t)dt$$

1.a. Démontrer que tout entier naturel $k$ non nul, on a : $I_{k+1}(x)=I_{k}(x)-\dfrac{(2+x)^{k+1}}{(k+1)!}e^{-x}$

b. En déduire que pour tout entier naturel $n$ non nul, on a :
$$Î_{n}(x)=e^{2}-\dfrac{1}{e^{x}}-\dfrac{2+x}{1!e^{x}}-\dfrac{(2+x)^{2}}{2!E^{x}}-\ldots-\dfrac{(2+x)^{n}}{n!e^{x}}$$

2. Soit $\alpha\in\left[-2\;,+\infty\right[$

a. Montrer que pour tout entier $n$ supérieur ou égale à $2$, on a : $0\leq I_{n}(\alpha)\leq\left(\alpha+2\right)y_{n}$

b. En déduire la limite de la suite $\left(I_{n}\right)$

3. Pour tout réel $x\in[-2\;,+\infty($ pour tout entier naturel non nul $n$, on pose
$$J_{n}(x)=1+\dfrac{2+x}{1!}+\dfrac{(2+x)^{2}}{2!}+\ldots+\dfrac{(2+x)^{2}}{n!}$$

a. Montrer que $J_{n}(x)=e^{2+x}-e^{x}l_{n}(x)$

b. Déterminer la limite de $J_{n}(\alpha)$ quand $n$ tend vers $+\infty$

c. Soit $\left(U_{n}\right)$ la suite définie pour $n\geq 1$ par : $U_{n}=1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\ldots+\dfrac{1}{n!}$

Déterminer la limite de $\left(U_{n}\right)$