Bac Math 1er groupe R S1 S3 2011

Exercice 1 (4 points)

Soit Δ une droite de repère (O, u) dans le plan orienté, Δ limage de Δ par le quart de tour direct de centre O
 
Soit I un point du plan tel que la mesure principale de l'angle (u, OI) appartient à ]0, π2[.
 
H et H sont les projetés orthogonaux de I respectivement sur Δ et Δ. Les figures demandées seront réalisées en choisissant OH=4cm et OH=2cm
 
A chaque point M de Δ distinct de O on associe le cercle CM passant par O, I et M
 
1) a) Si M est en O on convient que Co est le cercle tangent en O à Δ et passant par I
 
Préciser le centre de Co et tracer ce cercle sur la figure(0.25pt)
 
b) Montrer qu'il existe un point A de Δ et un seul tel que le cercle CA soit tangent à Δ
 
Préciser le centre de CA et tracer ce cercle sur la figure(2×0.25pt)
 
Le cercle CM, s'il n'est pas tangent à Δ recoupe cette droite en un point M autre que O
 
En particulier, Co recoupe Δ en un point O
 
Si M est en A, on convient que A=O
 
2) Soit s l'unique similitude directe du plan associant O à O et A à A
 
a) Montrer que l'angle de s admet pour mesure π2(0.5pt)
 
b) Déterminer le centre de cette similitude.(On établira qu'il appartient à CA et Co(0.5pt))
 
c) Déterminer l'image de H par s et en déduire le rapport de s(2×0.5pt)
 
3) Prouver que pour tout point M de Δ, s(M)=M(0.5pt)
 
(0.75pt pour la figure)
 

Exercice 2 (3 points)

Un tournoi de lutte oppose deux écuries A et B qui jouent 3 parties successives de lutte.
 
Les parties sont supposées indépendantes. Le vainqueur du tournoi est l'écurie qui a gagné le plus de parties.
 
Chaque partie est noté A B ou N suivant que l'écurie A gagne, B gagne ou que la partie est nulle.
 
A chaque partie l'écurie A a une probabilité a=0.5 de gagner l'écurie B a une probabilité b=0.4 de gagner
 
1) Dresser la liste des tournois sans vainqueur. Constater qu'ils sont au nombre de 7(0.5pt)
 
On pose c=1ab. Calculer en fonction de a, b et c la probabilité s pour que le tournoi soit sans vainqueur
 
Vérifier que s=0.121(0.5+0.25pt)
 
2) a) Calculer la probabilité p pour que l'écurie A gagne exactement une partie du tournoi et remporte le tournoi(0.5pt)
 
b) Calculer en fonction de a et c la probabilité q pour que l'écurie A soit vainqueur du tournoi.
 
Vérifier que q=0.515(0.5+0.25pt)
 
3 ) Sachant que l'écurie B est vainqueur du tournoi, calculer la probabilité pour que l'écurie B ait gagné exactement deux parties (0.5pt)
 

Exercice 3 (3 points)

On rappelle "le petit théorème de Fermat ": Si p est un entier naturel premier et a un entier naturel premier avec p alors ap11[p]
 
1) Déterminer un entier naturel n tel que 2n1[11](0.25pt)
 
2) Soit a un entier naturel non divisible par 11.
 
Démontrer que a101[11](0.5pt)
 
3) Soit a un entier naturel non nul. On appelle ordre de a (modulo 11), le plus petit entier naturel k non nul tel que ak1[11]
 
a) Soit k0 l'ordre de a. Montrer que le reste r de la division euclidienne de 10 par k0 vérifie ar1[11](0.5pt)
 
b) En déduire que k0 divise 10(0.5pt)
 
c) Quelles sont les valeurs possibles de k0?(0.25pt)
  
4) a) Déterminer l'ordre 11 de l'entier naturel 7(0.5pt)
 
b) A tout entier naturel n non nul, on associe le nombre An=1n+2n+3n++10n
 
Montrer que A20110[11](0.5pt)

Problème (10 points)

Soit aR+{1} et fa la fonction définie sur R+
par fa(x)=ax=exlna; Ca sa courbe représentative dans le plan P muni d'un repère orthonormé (O, u, v) (unité graphique 2cm)
 
Partie A
 
1) a) Justifier la dérivabilité de fa sur ]0, +[ et calculer fa(x) pour
x>0(0.25+0.5pt)
 
b) La fonction fa est-elle dérivable au point 0 ?(0.5pt)
 
c) Étudier la limite de fa en +.Dresser le tableau de variation de fa selon les valeurs de a(0.25+0.5pt)
 
2) a) Donner une équation de la tangente (Ta) à la courbe Ca au point A d'abscisse 1(0.25pt)
b) Calculer fa(x) pour x>0. Étudier selon les valeurs de a le signe de fa(x) pour x>0
 
En déduire l'existence d'un point d'inflexion de la courbe Ca si a>1(2×0.5+0.25pt)
 
3) Construire dans le repère (O, u, v) la droite (Te) tangente à Ce au point d'abscisse 1 et la courbe Ce(0.5pt)
 
Dans la suite du problème on suppose a>1
 
Partie B
 
On note (Π) la partie du plan délimité par la courbe Ca l'axe des ordonnés et la droite Δa d'équation y=a
 
1) Si A désigne en unités d'aires, l'aire du domaine (Π), justifier que A=a10fa(x)dx(0.25pt)
 
2) Soit r la rotation de centre O et d'angle de mesure π2
 
Soit M un point du plan d'affixe z=x+iy et M le point d'affixe z=x+iy image de M par r
 
a) Exprimer x et y en fonction de x et y(0.25pt)
 
b) Soit Ca l'image de Ca par r
 
Montrer que Ca a pour équation :
y=(lnxlna)2, x>1(0.5pt)
 
c) Déterminer les images Ta et Δa de Ta et Δa respectivement par r(2×0.25pt)
 
d) Construire Te, Δe et Ce dans le repère (O, u , v)(0.25pt)
 
e) Soit (Π) la partie du plan délimité par Ta Δa et Ca.
 
A l'aide de deux intégrations par parties calculer en u.a l'aire A de (Π)
 
En déduire l'intégration I=10fa(x)dx(0.5+0.25pt)
 
3) Soit h la fonction définie sur R+ par h(x)=x0atdt et g
la fonction définie sur R+ par g(x))=x2.On note φ la fonction hg définie sur R+
 
a) Calculer φ(0)(0.25pt)
 
b) Justifier la dérivabilité φ sur R+ et montrer que : x0, φ(x)=2xax(0.25+0.5pt)
 
c) En déduire que : x0, φ(x)=2axlna(x1lna)+2ln2a(0.5pt)
 
d) Retrouver alors I(0.25pt)
 
Partie C
 
Pour tout entier naturel non nul k on pose : uk=k/(k+1)(k1)/kfa(t)dt et soit (Sn)n1 la suite définie par Sn=nk=0uk, nN
 
1) Montrer que : nN, Sn=n/(n+1)0fa(t)dt(0.5pt)
 
2) Montrer que nN, ISn=1n/(n+1)fa(t)dt
 
et que 1n+1an/(n+1)ISnan+1(2×0.5pt)
 
3) En déduire la limite de (Sn)n1(0.25pt)
 
 

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