Bac Math 1er groupe R S1 S3 2011
Exercice 1 (4 points)
Soit Δ une droite de repère (O, →u) dans le plan orienté, Δ′ limage de Δ par le quart de tour direct de centre O
Soit I un point du plan tel que la mesure principale de l'angle (→u, →OI) appartient à ]0, π2[.
H et H′ sont les projetés orthogonaux de I respectivement sur Δ et Δ′. Les figures demandées seront réalisées en choisissant OH=4cm et OH′=2cm
A chaque point M de Δ distinct de O on associe le cercle CM passant par O, I et M
1) a) Si M est en O on convient que Co est le cercle tangent en O à Δ et passant par I
Préciser le centre de Co et tracer ce cercle sur la figure(0.25pt)
b) Montrer qu'il existe un point A de Δ et un seul tel que le cercle CA soit tangent à Δ′
Préciser le centre de CA et tracer ce cercle sur la figure(2×0.25pt)
Le cercle CM, s'il n'est pas tangent à Δ′ recoupe cette droite en un point M′ autre que O
En particulier, Co recoupe Δ′ en un point O′
Si M est en A, on convient que A′=O
2) Soit s l'unique similitude directe du plan associant O à O′ et A à A′
a) Montrer que l'angle de s admet pour mesure −π2(0.5pt)
b) Déterminer le centre de cette similitude.(On établira qu'il appartient à CA et Co(0.5pt))
c) Déterminer l'image de H par s et en déduire le rapport de s(2×0.5pt)
3) Prouver que pour tout point M de Δ, s(M)=M′(0.5pt)
(0.75pt pour la figure)
Exercice 2 (3 points)
Un tournoi de lutte oppose deux écuries A et B qui jouent 3 parties successives de lutte.
Les parties sont supposées indépendantes. Le vainqueur du tournoi est l'écurie qui a gagné le plus de parties.
Chaque partie est noté A B ou N suivant que l'écurie A gagne, B gagne ou que la partie est nulle.
A chaque partie l'écurie A a une probabilité a=0.5 de gagner l'écurie B a une probabilité b=0.4 de gagner
1) Dresser la liste des tournois sans vainqueur. Constater qu'ils sont au nombre de 7(0.5pt)
On pose c=1−a−b. Calculer en fonction de a, b et c la probabilité s pour que le tournoi soit sans vainqueur
Vérifier que s=0.121(0.5+0.25pt)
2) a) Calculer la probabilité p pour que l'écurie A gagne exactement une partie du tournoi et remporte le tournoi(0.5pt)
b) Calculer en fonction de a et c la probabilité q pour que l'écurie A soit vainqueur du tournoi.
Vérifier que q=0.515(0.5+0.25pt)
3 ) Sachant que l'écurie B est vainqueur du tournoi, calculer la probabilité pour que l'écurie B ait gagné exactement deux parties (0.5pt)
Exercice 3 (3 points)
On rappelle "le petit théorème de Fermat ": Si p est un entier naturel premier et a un entier naturel premier avec p alors ap−1≡1[p]
1) Déterminer un entier naturel n tel que 2n≡1[11](0.25pt)
2) Soit a un entier naturel non divisible par 11.
Démontrer que a10≡1[11](0.5pt)
3) Soit a un entier naturel non nul. On appelle ordre de a (modulo 11), le plus petit entier naturel k non nul tel que ak≡1[11]
a) Soit k0 l'ordre de a. Montrer que le reste r de la division euclidienne de 10 par k0 vérifie ar≡1[11](0.5pt)
b) En déduire que k0 divise 10(0.5pt)
c) Quelles sont les valeurs possibles de k0?(0.25pt)
4) a) Déterminer l'ordre 11 de l'entier naturel 7(0.5pt)
b) A tout entier naturel n non nul, on associe le nombre An=1n+2n+3n+⋯+10n
Montrer que A2011≡0[11](0.5pt)
Problème (10 points)
Soit a∈R∗+∖{1} et fa la fonction définie sur R+
par fa(x)=a√x=e√xlna; Ca sa courbe représentative dans le plan P muni d'un repère orthonormé (O, →u, →v) (unité graphique 2cm)
Partie A
1) a) Justifier la dérivabilité de fa sur ]0, +∞[ et calculer f′a(x) pour
x>0(0.25+0.5pt)
b) La fonction fa est-elle dérivable au point 0 ?(0.5pt)
c) Étudier la limite de fa en +∞.Dresser le tableau de variation de fa selon les valeurs de a(0.25+0.5pt)
2) a) Donner une équation de la tangente (Ta) à la courbe Ca au point A d'abscisse 1(0.25pt)
b) Calculer f″a(x) pour x>0. Étudier selon les valeurs de a le signe de f″a(x) pour x>0
En déduire l'existence d'un point d'inflexion de la courbe Ca si a>1(2×0.5+0.25pt)
3) Construire dans le repère (O, →u, →v) la droite (Te) tangente à Ce au point d'abscisse 1 et la courbe Ce(0.5pt)
Dans la suite du problème on suppose a>1
Partie B
On note (Π) la partie du plan délimité par la courbe Ca l'axe des ordonnés et la droite Δa d'équation y=a
1) Si A désigne en unités d'aires, l'aire du domaine (Π), justifier que A=a−∫10fa(x)dx(0.25pt)
2) Soit r la rotation de centre O et d'angle de mesure −π2
Soit M un point du plan d'affixe z=x+iy et M′ le point d'affixe z′=x′+iy′ image de M par r
a) Exprimer x′ et y′ en fonction de x et y(0.25pt)
b) Soit C′a l'image de Ca par r
Montrer que C′a a pour équation :
y=−(lnxlna)2, x>1(0.5pt)
c) Déterminer les images T′a et Δ′a de Ta et Δa respectivement par r(2×0.25pt)
d) Construire T′e, Δ′e et C′e dans le repère (O, →u , →v)(0.25pt)
e) Soit (Π′) la partie du plan délimité par T′a Δ′a et C′a.
A l'aide de deux intégrations par parties calculer en u.a l'aire A de (Π′)
En déduire l'intégration I=∫10fa(x)dx(0.5+0.25pt)
3) Soit h la fonction définie sur R+ par h(x)=∫x0a√tdt et g
la fonction définie sur R+ par g(x))=x2.On note φ la fonction h∘g définie sur R+
a) Calculer φ(0)(0.25pt)
b) Justifier la dérivabilité φ sur R+ et montrer que : ∀x≥0, φ′(x)=2xax(0.25+0.5pt)
c) En déduire que : ∀x≥0, φ(x)=2axlna(x−1lna)+2ln2a(0.5pt)
d) Retrouver alors I(0.25pt)
Partie C
Pour tout entier naturel non nul k on pose : uk=∫k/(k+1)(k−1)/kfa(t)dt et soit (Sn)n≥1 la suite définie par Sn=n∑k=0uk, n∈N∗
1) Montrer que : ∀n∈N∗, Sn=∫n/(n+1)0fa(t)dt(0.5pt)
2) Montrer que ∀n∈N∗, I−Sn=∫1n/(n+1)fa(t)dt
et que 1n+1a√n/(n+1)≤I−Sn≤an+1(2×0.5pt)
3) En déduire la limite de (Sn)n≥1(0.25pt)
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