Bac Math 2e groupe S1 S3 2009
Exercice 1 (4 pts)
1) On considère un triangle EFG tel que :
{FG=√2EF(→FE, →FG)=π4
a) Montrer que EF=EG.
[ On pourra calculer EG2 en utilisant la relation $\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{EF}+
\overrightarrow{FG}]\quad(1\;pt)$
b) En déduire que le triangle EFG est rectangle et isocèle.(0.5pt)
2) Dans le plan orienté on considère un triangle ABC, rectangle et isocèle en A; on suppose que (→AB, →AC)=π2[2π]
On note A′ le symétrique de A par rapport au point C.
a) Déterminer le rapport et l'angle de la similitude directe s qui transforme A′ en C et C en B.(0.5+0.5=1pt)
b) Soit Ω le centre de la similitude s. Démontrer que le triangle ΩCB est direct, rectangle et isocèle.(1pt)
c) En déduire une construction de Ω(0.5pt)
Exercice 2 (4 pts)
1) Déterminer la solution f de l'équation différentielle (E) : y″+4y′+4y=0 vérifiant la condition initiale f(0)=0 et f′(0)=1.(1pt)
2) Soit g la fonction définie par : g(x)=(x+3)e−2x.
a) Montrer que g est une solution de (E)(0.5pt)
b) Déterminer une primitive G de g en utilisant :
i : l'équation différentielle (E).(0.75pt)
ii : une intégration par parties.(0.75pt)
3) Soit F la fonction définie par :
F(x)=−14(2x+1)e−2x+14
a) Montrer que la restriction H de F à [0, +∞[ est une bijection de [0, +∞[ sur un intervalle à préciser.(0.5pt)
b) Déterminer l'ensemble de dérivabilité de H−1, fonction réciproque de H.(0.5pt)
Exercice 3 (4 pts)
1) En utilisant l'algorithme d'Euclide déterminer le pgcd de 231 et 3311.(1pt)
2) Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On pose :
An=1+2+⋯+n et Bn=12+22+⋯+n2
Démontrer que An=12n(n+1) et Bn=16n(n+1)(2n+1)(2×0.5=1pt)
3) a) Démontrer que pour tout k∈Z, 12k(3k+1) est un entier.(0.5pt)
b) On suppose que n est un multiple de 3. Déterminer le pgcd de An et Bn.(1pt)
4) Vérifier le résultat obtenu dans le cas où n=21.(0.5pt)
Exercice 4 (4 pts)
Dans le plan complexe on considère l'application φ qui, à tout point M d'affixe z non nulle, on associe le point M′ d'affixe z′ telle que :
z′=−12(z−1z)
On note A le point d'affixe i
1) Déterminer l'affixe de A′ image de A par φ.(1pt)
2) Montrer que z′+iz′−i=12(z+iz−i)2,
pour tout z distinct de i et de −i.(1pt)
3) En déduire (→M′A, →M′A′) en fonction de (→MA, →MA′)(1pt)
4) Déterminer l'ensemble des points M tels que (→M′A, →M′A′)=π[2π](1pt)
Exercice 5 (4 pts)
Soit ABCDA′B′C′D′ un cube (Voir figure ci-contre).
On désigne par :
s1 réflexion de base le plan (AA′B′B).
s2 réflexion de base le plan (BB′CC′).
s3 réflexion de base le plan (CC′DD′).
s4 réflexion de base le plan (DD′AA′).
1) a) Montrer que r=s2∘s1 est un demi tour dont on précisera l'axe.(1pt)
b) Déterminer la nature et les éléments géométriques caractéristiques de r′=s4∘s3.(1pt)
2) On note s la réflexion de base le plan (BB′DD′).
a) Déterminer les réflexions s′ et s″ telles que r=s∘s′ et r′=s″∘s.(1pt)
b) En déduire que t=r′∘r est la translation de vecteur 2→BD.(1pt)
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