Bac Math 2ième groupe S1 S3 2010

Exercice 1 (4 pts)

On considère la fonction numérique f définie par f(x)=x011+t2dt
 
1) Préciser l'ensemble D de définition de f(0.25pt)
 
2) Montrer en utilisant le changement de variable u=t que la fonction f est impaire.
 
Déterminer alors xx11+t2dt(0.5pt+0.25pt)
 
3) Étudier la dérivabilité de f et lorsque f est dérivable en un point x, calculer f(x)(0.25pt+0.25pt)
 
4) Établir que pour tout x2, on a : x211+t2dt1+11x
 
En déduire que f est bornée puis que si f admet une limite en +, cette dernière est finie.(0.5pt+0.5pt+0.5pt)
 
5) En admettant que limx+f(x)=π2 construire la courbe Cf représentative de f dans la plan muni d'un repère orthonormé (préciser la tangente à Cf à l'origine ainsi que les
asymptotes de Cf)(1pt)

Exercice 2 (4 pts)

Pour tout nombre réel a non nul, on désigne par fa l'application de C dans C qui associe à tout nombre complexe z le nombre complexe Z=fa(z) satisfaisant à
Zia=ia(zia)
 
Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O, i , j) on note Fa l'application qui associe
à tout point m d'affixe z, le point M d'affixe fa(z).
 
1) Montrer que Fa admet un unique point invariant Sa dont on déterminera l'affixe(1pt)
 
2) a) Pour mSa, exprimer en fonction de a le rapport SaMSam ainsi qu'une mesure de
l'angle (Sam, SaM)(1pt)
 
b) En déduire la nature de l'application Fa et préciser ses éléments caractéristiques(1pt)
 
3) Montrer que FaFa est une translation (1pt)

Exercice 3 (4 pts)

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct (O, i , j), on considère les points
A(1, 2, 2), B(3, 2, 1) et C(1, 3, 3)
 
1) Calculer ABAC et en déduire que A, B et C déterminent un plan.(0.5pt+0.25pt)
 
2) Donner une équation cartésienne du plan (ABC).(0.75pt)
 
3) On considère les plans P1 et P2 d'équations respectives
x2y+2z1=0 et x3y+2z+2=0
 
a) Montrer que les plans P1 et P2 sont sécants. On notera Δ leur droite d'intersection.(0.5pt)
 
b) Montrer que le point C appartient à Δ.(0.5pt)
 
c) Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite Δ(1pt)
 
d) Calculer la distance du point A à la droite de la droite Δ(0.5pt)

Exercice 4 (4 pts)

On note H l'orthocentre d'un triangle équilatéral direct ABC. On désigne par rA, rB et rC les rotations de centres respectifs A, B et C et de même angle π3 et on pose
f=rArB et g=rCrBrA.
 
1) Calculer f(C), f(B) et g(B) et en déduire la nature et les éléments caractéristiques de f et de g(0.5pt+0.5pt+0.5pt+0.25pt+0.25pt)
 
2) On désigne par s(AB), s(BC) et s(CA) les réflexions d'axes respectifs (AB), (BC) et (CA)
 
et on pose h=s(CA)s(AB)s(BC) et soit (d) la droite parallèle à (AC) passant par B.
 
Montrer que s(AB)s(BC)=s(d)s(AB).(1pt)
 
3) Soit B le milieu de [AC]. Montrer que h=t2BBs(AB).(1pt)

Exercice 5 (4 pts)

Une urne contient 2 boules blanches et 4 boules noires indiscernables au toucher.
 
On tire successivement et sans remise 3 boules de l'urne.
 
Soit X la variable aléatoire égale au rang de la première boule blanche tirée.
 
(On convient que le rang 0 correspond au tirage de trois boules noires)
 
1) Définir la loi de probabilité de X(1.5pt)
 
2) Calculer l'espérance mathématique et la variance de X.(0.5pt+1pt)
 
3) Tracer la courbe représentative de la fonction de répartition de X dans le plan muni d'un repère orthogonal.(1pt)
 

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