Bac Math 2ième groupe S1 S3 2010
Exercice 1 (4 pts)
On considère la fonction numérique f définie par f(x)=∫x011+t2dt
1) Préciser l'ensemble D de définition de f(0.25pt)
2) Montrer en utilisant le changement de variable u=−t que la fonction f est impaire.
Déterminer alors ∫x−x11+t2dt(0.5pt+0.25pt)
3) Étudier la dérivabilité de f et lorsque f est dérivable en un point x, calculer f′(x)(0.25pt+0.25pt)
4) Établir que pour tout x≥2, on a : ∫x211+t2dt≤1+11−x
En déduire que f est bornée puis que si f admet une limite en +∞, cette dernière est finie.(0.5pt+0.5pt+0.5pt)
5) En admettant que limx→+∞f(x)=π2 construire la courbe Cf représentative de f dans la plan muni d'un repère orthonormé (préciser la tangente à Cf à l'origine ainsi que les
asymptotes de Cf)(1pt)
Exercice 2 (4 pts)
Pour tout nombre réel a non nul, on désigne par fa l'application de C dans C qui associe à tout nombre complexe z le nombre complexe Z=fa(z) satisfaisant à
Z−ia=ia(z−ia)
Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O, →i , →j) on note Fa l'application qui associe
à tout point m d'affixe z, le point M d'affixe fa(z).
1) Montrer que Fa admet un unique point invariant Sa dont on déterminera l'affixe(1pt)
2) a) Pour m≠Sa, exprimer en fonction de a le rapport SaMSam ainsi qu'une mesure de
l'angle (→Sam, →SaM)(1pt)
b) En déduire la nature de l'application Fa et préciser ses éléments caractéristiques(1pt)
3) Montrer que F−a∘F−a est une translation (1pt)
Exercice 3 (4 pts)
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct (O, →i , →j), on considère les points
A(1, 2, 2), B(3, 2, 1) et C(1, 3, 3)
1) Calculer →AB⋀→AC et en déduire que A, B et C déterminent un plan.(0.5pt+0.25pt)
2) Donner une équation cartésienne du plan (ABC).(0.75pt)
3) On considère les plans P1 et P2 d'équations respectives
x−2y+2z−1=0 et x−3y+2z+2=0
a) Montrer que les plans P1 et P2 sont sécants. On notera Δ leur droite d'intersection.(0.5pt)
b) Montrer que le point C appartient à Δ.(0.5pt)
c) Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite Δ(1pt)
d) Calculer la distance du point A à la droite de la droite Δ(0.5pt)
Exercice 4 (4 pts)
On note H l'orthocentre d'un triangle équilatéral direct ABC. On désigne par rA, rB et rC les rotations de centres respectifs A, B et C et de même angle π3 et on pose
f=rA∘rB et g=rC∘rB∘rA.
1) Calculer f(C), f(B) et g(B) et en déduire la nature et les éléments caractéristiques de f et de g(0.5pt+0.5pt+0.5pt+0.25pt+0.25pt)
2) On désigne par s(AB), s(BC) et s(CA) les réflexions d'axes respectifs (AB), (BC) et (CA)
et on pose h=s(CA)∘s(AB)∘s(BC) et soit (d) la droite parallèle à (AC) passant par B.
Montrer que s(AB)∘s(BC)=s(d)∘s(AB).(1pt)
3) Soit B′ le milieu de [AC]. Montrer que h=t2→BB′∘s(AB).(1pt)
Exercice 5 (4 pts)
Une urne contient 2 boules blanches et 4 boules noires indiscernables au toucher.
On tire successivement et sans remise 3 boules de l'urne.
Soit X la variable aléatoire égale au rang de la première boule blanche tirée.
(On convient que le rang 0 correspond au tirage de trois boules noires)
1) Définir la loi de probabilité de X(1.5pt)
2) Calculer l'espérance mathématique et la variance de X.(0.5pt+1pt)
3) Tracer la courbe représentative de la fonction de répartition de X dans le plan muni d'un repère orthogonal.(1pt)
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