Bac Math 2ième groupe S1 S3 2011
Exercice 1 (4 points)
Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, →u, →v)
1) Résoudre dans C l'équation :
z2−5(1+i)z+2(1+7i)=0(2pt)
2) Soient a un réel, A et B les points d'affixes respectives zA=3+i et zB=2+4i
On définie l'application fa du plan dans lui-même qui à tout point M associe le point M′ tel que :
→MM′=→MO+a→MA+→MB
Déterminer suivant les valeurs de a, la nature et les éléments géométriques caractéristiques de l'application fa(2pt)
Exercice 2 (4 points)
1) a) Déterminer la solution générale de l'équation différentielle :
y″
b) Soient a\;,\ b et c des réels.
Montrer que la solution générale de l'équation, ay''-by'+cy=0 est de la forme x\mapsto\mathrm{e}^{x}(c_{1}\cos x+c_{2}\sin x) où c_{1} et c_{2} sont des constantes réelles si et seulement si a\;,\ b et c sont proportionnels à 1.2 et 2 \quad(1\;pt)
2) On lance trois fois de suite un dé dont les faces numérotées de 1 à 6 et on note à chaque fois le numéro de la face de dessus. Chaque numéro a la même probabilité d'apparaitre.
On appelle a\;,\ b et c les résultats des premiers, second et troisième jet du dé.
Quelle est la probabilité pour que la solution générale de l'équation différentielle, ay''-by'+cy=0
Soit de la forme x\mapsto\mathrm{e}^{x}(c_{1}\cos x+c_{2}\sin x) où c_{1} et c_{2} sont des constantes réelles ?\quad(2\;pt)
Exercice 3 (4 points)
A et O sont deux points distincts du plan.
On note (\Gamma) le cercle de diamètre [AO] et I le centre de ce cercle.M est un point de (\Gamma) distinct des points A et O
Le point N est tel que le triangle MON soit équilatéral direct. Le point G est le centre de gravité du triangle MON
Les droites (AM) et (OG) se coupent en un point M'
1) Placer les points sur une figure \quad(1\;pt)
2) Montrer que les points I\;,\ N et G appartiennent à la médiatrice du segment [MO] tel que le point G est le milieu du segment [OM']\quad(1\;pt)
3) a) Déterminer l'angle et le rapport de la similitude directe s de centre O transformant M en M'\quad(1\;pt)
b) Représenter sur la figure le point I'=s(I)
Quel est l'ensemble des points M' lorsque M décrit le cercle (\Gamma) privé de A et de O ?\quad(1\;pt)
Exercice 4 (4 points)
1) a) Déterminer les restes respectifs des divisions euclidiennes de 3^{1}\;,\ 3^{2}\;,\ 3^{3} par 13.\quad(1\;pt)
b) En déduire les restes de la division euclidienne par 13 des différentes puissances de 3 à exposants entiers naturels\quad(1\;pt)
2) Déterminer les entiers naturels n tels que A_{n}=3^{n}+3^{2n}+3^{3n} soit divisible par 13.\quad(1\;pt)
3) Quels sont parmi les nombres 1010100 et 1001001000 écris dans le système de numération de base 3 ceux qui sont divisibles par 13 ?\quad(1\;pt)
Exercice 5 (4 points)
Soit C la courbe paramétrée définie par
\left\lbrace\begin{array}{lcl} x(t) &=& t\mathrm{e}^{t} \\ y(t) &=& -t\mathrm{e}^{-t} \end{array}\right.\ ,\quad t\in\;[-1\;,\ 1]
1) Exprimer x(-t) et y(-t) en fonction de x(t) et y(t).
En déduire que C admet un axe de symétrie que l'on précisera.\quad(1\;pt)
2) Étudier les variations de x et de y sur l'intervalle [0\;,\ 1]\quad(1\;pt)
Préciser les tangentes à C aux points de paramètres t=0\;,\ t=1 et t=-1\quad(1\;pt)
3) Construire C dans le plan muni d'un repère orthonormé. (Unité graphique 2\;cm)\quad(1\;pt)
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