Bac Math D, Côte d'Ivoire 2018

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé $(O\;,\ I\;,\ J).$

L'unité graphique est : $2\,cm.$

On considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $4\mathrm{i}$, $2$ et $1+\mathrm{i}\sqrt{3}.$

1. a) Écris le nombre complexe $1+\mathrm{i}\sqrt{3}$ sous forme trigonométrique.

b) Place les points $A$, $B$ et $C$ dans le plan muni du repère $(O\;,\ I\;,\  J).$

2. Soit $S$ la similitude directe de centre $O$ qui transforme $B$ en $C$

a) Justifie que l'expression complexe de $\mathcal{S}$ est : $z'=\dfrac{1}{2}(1+\mathrm{i}\sqrt{3})z$

b) Justifie que $\mathcal{S}$ est une rotation dont on précisera une mesure de l'angle

3. Soit $(E)$ l'ensemble es points $M$ du plan d'affixe $z$ telle que : $|z−4\mathrm{i}|=2.$

a) Détermine et construis $(E)$

b) Détermine la nature et les éléments caractéristiques de $(E')$ l'image de $(E)$ par $\mathcal{S}.$

4. Soit $(\mathcal{F})$ l'ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z$ telle que : $$|z−2|=|z−1−\mathrm{i}\sqrt{3}|$$

a) Détermine et construis $(\mathcal{F})$

b) Justifie que le point $O$ et le point $K$ milieu du segment $[BC]$ appartiennent à $(\mathcal{F})$

c) Justifie que l'image de $(\mathcal{F})$ par $\mathcal{S}$ est la droite $(OJ).$

Un laboratoire de recherche étudie l'évolution d'une population animale qui semble en voie de disparition.

En l'an $2000$ l'effectif était à mille $(1000).$

L'effectif de cette population évolue par rapport au temps $t$ et peut être approché par une fonction $f.$

Le temps $t$ est exprimé en années à partir de $2000.$

La fonction $f$ est dérivable, strictement positive sur l'intervalle $[2000\ ;\ +\infty[$ et est solution de l'équation différentielle :
$$\left(E_{1}\right)\ :\ y'(t)+\dfrac{1}{200}y(t)=-\dfrac{200}{t^{2}}+\dfrac{1}{t}$$

1. Soit $h$ la fonction dérivable et définie sur l'intervalle $[2000\ ;\ +\infty[$ $h(t)=\dfrac{200}{t}.$

Vérifie que $h$ est une solution de $\left(E_{1}\right)$

2. Résous l'équation différentielle : $\left(E_{2}\right)\ :\ y'(t)+\dfrac{1}{200}y(t)=0$

3. a) Démontre qu'une fonction $g$ est solution de $\left(E_{1}\right)$ : si et seulement si $g^{−h}$ est solution de $\left(E_{2}\right).$

b) Déduis-en les solutions de $\left(E_{1}\right).$

c) Sachant que $f(2000)=1000$, vérifie que :
$$\forall t\in[2000\ ;\ +\infty[\;,\ f(t)=999.9\mathrm{e}\left(10−\dfrac{t}{200}\right)+\dfrac{200}{t}$$

d) Détermine le nombre d'individus de cette population animale en $2020.$

Donne le résultat arrondi à l'ordre $0.$

On considère la fonction $g$ dérivable et définie sur l'intervalle $]0\ ;\ +\infty[$ par :
$$g(x)=2+x−3\ln(x)$$

1. Calcule la limite de $g$ en $0$ et la limite de $g$ en $+\infty$

2. a) On considère par $g'$ la fonction dérivée de $g.$

Calcule $g'(x)$ pour tout nombre réel $x$ strictement positif

b) Étude les variations de $g$

c) Vérifie que $g\left(\mathrm{e}^{-\dfrac{2}{3}}\right)=2+3\mathrm{e}^{−\dfrac{2}{3}}$

Dresse le tableau de variation de $g.$

3. a) Démontre que l'équation $g(x)=0$ admet dans l'intervalle $\left[\mathrm{e}^{-\dfrac{2}{3}}\ ;\ +\infty\right[$, une solution unique notée $\alpha.$

b) Justifie que : $1.9<\alpha<2$

4. Démontre que : $\forall x\in]0\ ;\ \alpha[\;,\ g(x)>0$ et $\forall x\in]\alpha\ ;\ +\infty[\;,\ g(x)<0.$

Soit $f$ la fonction dérivable définie sur l'intervalle $]0\ ;\ +\infty[$ par : $f(x)=\dfrac{20\ln(x)}{(x+2)^{3}}$

$(\mathcal{C})$ désigne la courbe représentative de $f$ dans le plan muni du repère orthonormé $(O\;,\ I\;,\ J)$ d'unité graphique $5\,cm.$

1. a) Calcule la limite de $f$ en $0.$

Interprète graphiquement le résultat.

b) Justifie que la limite de $f$ en $+\infty$ est égale à $0.$

Interprète graphiquement le résultat

2. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$

a) Démontre que : $\forall x\in]0\ ;\ +\infty[\;,\ f'(x)=\dfrac{20g(x)}{x(x+2)^{4}}$

b) Déduis-en les variations de $f.$

c) Dresse le tableau de variation de $f.$

On ne calculera pas $f(\alpha)$

3. Justifie qu'une équation de la tangente $(\mathcal{T})$ à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $1$ est : $y=\dfrac{20}{27}x−\dfrac{20}{74}.$

Trace $(\mathcal{T})$ et $(\mathcal{C}).$

On prendra $\alpha=1.95$ et $f(\alpha)=0.22.$

On pose : $$U=\int^{2}_{1}\dfrac{1}{x(x+2)^{2}}\mathrm{d}x\quad\text{et}\quad V=\int^{2}_{1}\dfrac{\ln(x)}{(x+2)^{3}}\mathrm{d}x$$

1. On admet que : $\forall x\in]0\ ;\ +\infty[\;,\ \dfrac{1}{x(x+2)^{2}}=\dfrac{1}{4}x−\dfrac{1}{4(x+2)}−\dfrac{1}{2(x+2)^{2}}$

Déduis-en que : $U=\dfrac{\ln 3}{4}−\dfrac{\ln 2}{4}−\dfrac{1}{24}$

2. a) A l'aide d'une intégration par parties, démontre que $V=−\dfrac{\ln 2}{32}+\dfrac{1}{2}U$

b) Calcule en $cm^{3}$ l'aire $\mathcal{A}$ de la partie du plan délimitée par le courbe $(\mathcal{C})$, l'axe $(OI)$, les droites d'équations $x=1$ et $x=2$

Donne le résultat arrondi à l'ordre $1.$