Bac Maths 1er groupe S1 S1A S3 - 2022

 

Le plan complexe $\mathbb{P}$ est muni d'un repère orthonormal direct $(O\;,\ \vec{u}\ ;\ \vec{v}.)$

 

On désigne par $A$ le point d'affixe $1.$

 

1) Soient $f$ l'application du plan dans lui-même définie par $f=t_{2\overrightarrow{OA}}\circ S_{O}\circ S_{(OA)}$ où $S_{(OA)}$ est la réflexion d'axe $(OA)\, S_{o}$ la symétrie centrale de centre $O$ et $t_{2\overrightarrow{OA}}$ la translation de vecteur $2\overrightarrow{OA}.$

 

A tout point $M$ d'affixe $Z$, on associe le point $M'$ d'affixe $Z'$ tel que $f(M)=M'.$

 

a) Donner l'écriture complexe de $t_{2\overrightarrow{OA}}$, puis les  expressions analytiques de $S_{O}$ et de $S_{(OA)}$

 

b) En déduire que l'expression analytique de $f$ est :

$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x'&=&-x+2\\y'&=&y \end{array}\right.$$

 

c) Montrer que $z'=-\bar{z}+2$

 

d) Montrer que $f$ est une isométrie puis déterminer l'écriture complexe de sa réciproque.

 

e) Déterminer l'ensemble $E$ des points invariants par $f.$ 

 

f) En déduire la nature et les éléments géométriques caractéristiques de $f$

 

2) On désigne par $O'$ l'image de $O$ par $t_{2\overrightarrow{OA}}$ Soient $\left(D_{1}\right)$ la droite passant par $O$ dont un vecteur directeur $\overrightarrow{e_{1}}$ est tel que $\left(\vec{u}\;,\ \overrightarrow{e_{1}}\right)=-\dfrac{\pi}{6}(2\pi)$ et $\left(D_{2}\right)$ la parallèle à $\left(D_{1}\right)$ passant par $O'.$

 

a) Déterminer une équation cartésienne de $\left(D_{2}\right)$ et l'ordonnée du point $\Omega$ d'abscisse $1$ de $\left(D_{2}\right).$

 

b) Sans utiliser l'écriture complexe de $f\circ S_{\left(D_{2}\right)}$,  déterminer la nature et les éléments géométriques caractéristiques de la transformation $f\circ S_{\left(D_{2}\right)}$ où $S_{\left(D_{2}\right)}$ est la réflexion d'axe $\left(D_{2}\right)$

 

c) Soit $g$ l'application du plan dans lui-même définie par $g=r_{O'}\circ t-{2\overrightarrow{OA}}$ où $r_{'}$ est la rotation de centre $O'$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}.$

 

i. Sans utiliser l'écriture complexe de $g$, donner la nature $g.$ 

 

ii. A tout point $M$ d'affixe $z$, on pose $M'=g(M)$ et $z'$ l'affixe de $M'.$

 

Montrer que $Z'=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\dfrac{\pi}{3}}Z+2$, puis déterminer les éléments géométriques caractéristiques de $g.$

On considère l'équation $(E)\ :\ 7x-3y=1$ où $x$ et $y$ sont des entiers naturels.

 

1) Déterminer le réel $a$ tel que le couple $(1\;,\ a)$ soit solution de $(E).$

 

2) Résoudre $(E).$

Dans cette partie on se propose de déterminer les couples $(n\;,\ m)$ d'entiers naturels non nuls solutions de l'équation: $7^{n}-3\times 2^{m}=1\ (F).$

 

1) Montrer que si le couple $(n\;,\ m)$ est solution de $F)$ alors il existe un entier naturel $K$ tel que : $7^{n-1}=3k$ et $2^{m}=2+7k.$

 

2) Montrer que si $m\leq 4$ alors l'équation $(E)$ a deux couples solutions. 

 

3) On suppose maintenant $m\geq 5.$

 

a)  Montrer que si le couple $(n\;,\ m$ est solution de $(F)$ alors : $7^{n}\equiv 1[32]$ et $2^{m}\equiv 0[32].$

 

b) Compléter le tableau suivant.

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|} \hline n\text{ est égal à}&1&2&3&4&5\\ \hline 7^{n}&\equiv\ldots[32]&\equiv\ldots[32]&\equiv\ldots[32]&\equiv\ldots[32]&\equiv\ldots[32]\\ \hline \end{array}$$

 

c) En déduire que si le couple $(n\;,\ m)$ vérifie la relation $(F)$, alors $n$ est divisible par $4.$

 

d) Montrer que si le couple $(n\;,\ m)$ est solution de $(F)$ alors $7^{n}\equiv 1[5].$

 

e) Montrer alors que pour $m\geq 5$, il n'existe pas de couple $(n\;,\ m)$ d'entiers naturels non nuls solution de $F.$

 

4) Déterminer alors l'ensemble des couples d'entiers naturels non nuls qui sont solutions de $(F).$

Soit $a$ un réel strictement positif.

 

On désigne par $g_{a}$ une fonction dérivable et strictement positive sur $\mathbb{R}$ de fonction dérivée $g'_{a}$ vérifiant les propriétés suivantes :

(P1) : Pour tout nombre réel $x\;,\ \left(g'_{a}(x)\right)^{2}-a^{2}\left(g_{a}(x)\right)^{2}=-1$ ;

 

(P2) : $g'_{a}(0)=0$ ;

 

(P3) : $g'_{a}$ est dérivable et strictement croissante sur $\mathbb{R}$

Soient $a$ un réel strictement positif, $f_{a}$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f_{a}(x)=\ln\left(\dfrac{\mathrm{e}^{ax}+\mathrm{e}^{-ax}}{2a}\right)$ et $\left(\mathcal{C}_{a}\right)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal $(O\;,\ \vec{i}\ ;\ \vec{j}).$

 

1)  Étudier la parité de $f_{a}$, ses variations et établir son tableau de variations. 

 

2) Étudier les branches infinies de $\left(\mathcal{C_{a}}\right).$

 

3) Tracer la courbe $\left(\mathcal{C}_{1}\right).$

1) Montrer que pour tout réel $x$, on a :

 

a) $\left|f'_{1}(x)\right|<1.$

 

b) $f''_{1}(x)=1-\left[f'_{1}(x)\right]^{2}$ $\left(E_{1}\right)$

 

2) Montrer que pour tout  l'équation $y\in)-1\;,\ 1($, l'équation $f'_{1}(x)=y$ admet une solution unique notée $t_{y}$ puis exprimer $t_{y}$ en fonction de $y.$

 

Pour tout $y\in]-1\;,\ 1[$, on pose, pour tout entier naturel $n$ :

$$I_{n}(y)=\int_{0}^{t_{y}}\left(f'_{1}(u)\right)^{n}\mathrm{d}u.$$

 

On convient que pour tout réel $u$, $\left(f'_{1}(u)\right)^{0}=1$

3. On suppose ici que $y\in[0\;,\ 1[.$

 

a) Justifier que $I_{n}(y)$ existe. 

 

b) Calculer $I_{0}(y)$ et $I_{1}(y).$ 

 

c) Montrer que pour tout entier naturel $n$, $0\leq I_{n}(y)\leq t_{y}\times y^{n}.$

 

d) En déduire que la suite $\left(I_{n}(y)\right)n\geq 0$ est convergente et déterminer sa limite.