Bac Maths 1er groupe, S1-S1A-S3 2024

 

Dans l'espace, on considère $8$ points $O\;,\ A\;,\ B\;,\ C\;,\ D\;,\ E\;,\ F\text{ et }G$ tels que $OABCGDEF$ soit un cube d'arête une unité.

 

L'espace est muni du repère orthonormé $\left(O\ ;\ \overrightarrow{OA}\;,\ \overrightarrow{OC}\;,\ \overrightarrow{OG}\right).$

 

 

1. Donner les coordonnées des points $A\;,\ C\;,\ G\text{ et }E.$ 

 

2.a) Déterminer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AG}\wedge\overrightarrow{AC}.$

 

b) En déduire une équation cartésienne du plan $(AGC).$ 

 

3. Montrer que la droite $(OE)$ est perpendiculaire au plan $(AGC).$ 

 

4. Déterminer les coordonnées du point $I$ intersection de la droite $(OE)$ et du plan $(AGC).$ 

 

5. Calculer alors le volume du tétraèdre $OAGC.$

 

6. On note $(\mathcal{P})$ et $(\mathcal{P'})$ respectivement les plans médiateurs de $[AC]$ et de $[CG]$ et on note $\mathcal{S}$ et $\mathcal{S'}$ les réflexions par rapport respectivement aux plans $(\mathcal{P})$ et $(\mathcal{P'}).$

 

a) Déterminer $\left(\mathcal{S'}\circ\mathcal{S}\right)(A).$ 

 

b) Démontrer que $\mathcal{S'}\circ\mathcal{S}$ est une rotation d'axe $(OI).$ 

 

c) Soit $\theta$ son angle, déterminer $|\theta|.$

1. On considère les nombres $a=57370\:text{ et }b=104275.$

 

a) Déterminer le $PGCD$ de $a$ et $b.$ 

 

b) L'équation $ax+by=5$ admet-elle des solutions dans $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ ?

 

2. Soit $(E)$ l'équation : $11474x+20855y=1.$

 

a) Vérifier que le couple $(3059\;,\ -1683)$ est solution de l'équation $(E).$ 

 

b) Résoudre dans $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ l'équation $(E).$

 

c) En déduire les solutions dans $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ de l'équation $ax+by=5.$

 

3. Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse : 

 

$P_{1}$ : Dans la base $p$ où $p$ est un entier naturel supérieur ou égal à $2\;,\ p-1$ est un chiffre.

 

$P_{2}$ : Dans la base $7\;,\ 8$ est un chiffre.

 

$P_{3}$ : Dans la base $16\;,\ E$ est un chiffre.

 

$P_{4}$ : Dans la base $8$, les chiffres sont : $0\ ;\ 1\ ;\ 2\ ;\ 3\ ;\ 4\ ;\ 5\ ;\ 6\ ;\ 7.$

 

4. Deux commerçantes Anta et Fatou se rendent au marché pour acheter des articles.

 

Un article coûte $5$ francs l'unité.

 

Anta et Fatou disposent respectivement d'un montant de $S_{1}$ et de $S_{2}$ en francs.

 

On sait que $S_{1}=1x00y2$ en base huit, et $S_{2}=x1y003$ en base sept.

 

a) Donner, en fonction de $x$ et $y$ les expressions de $S_{1}$ et de $S_{2}$ en base dix. 

 

b) Déterminer les chiffres $x$ et $y$ pour que chacune des deux commerçantes puisse dépenser tout le montant à sa disposition. 

 

c) En déduire le nombre d'articles que chacune d'elles pourra acheter.

Soit $n$ un entier naturel. 

 

On considère la fonction $f_{n}$ définie par :$$f_{n}(x)=\mathrm{e}^{\left(n+\dfrac{1}{2}\right)x}\times\sqrt{2-\mathrm{e}^{x}}$

 

On note $\mathcal{C}_{n}$ la courbe représentative de $f_{n}$ dans le plan muni d'un repère orthonormé $\left(O\ ;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\right).$

 

L'unité graphique est $4\,cm.$

 

1. Déterminer le domaine de définition de $f_{n}$, puis calculer les limites aux bornes de cet ensemble. 

 

2. Montrer que toutes les courbes $\mathcal{C}_{n}$ passent par deux points fixes que l'on déterminera. 

 

3. Étudier les positions relatives des courbes $\mathcal{C}_{n+1}$ et $\mathcal{C}_{n}$ pour $n\in\mathbb{N}.$ 

 

4. Étudier les variations de $f_{n}.$ 

 

5. Montrer que $f_{n}$ admet un maximum $a_{n}$ puis exprimer $a_{n}$ en fonction de $n.$

 

6. Dresser le tableau de variations de $f_{n}.$

 

7. Tracer les courbes $\mathcal{C}_{1}\;,\ \mathcal{C}_{2}\text{ et }\mathcal{C}_{3}$

 

8. Soient $\left(U_{n}\right)$ et $\left(V_{n}\right)$ les suites définies pour tout $n\in\mathbb{N}\text{ par : }U_{n}=\ln\left(\dfrac{2n+1}{n+1}\right)\text{ et }V_{n}=f_{n}\left(U_{n}\right).$ 

 

a) Déterminer la limite de $U_{n}.$ 

 

b) Calculer la limite de $\ln\left(V_{n}\right)$ et en déduire celle de $V_{n}.$ 

Soit $\varphi$ la fonction définie sur $]0\;,\ 2[$ par : $\varphi(t)=\sqrt{t(2-t)}$ 

 

1. Montrer que $\varphi\left(\mathrm{e}^{t}\right)=f_{0}(t).$

 

2. Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0\;,\ 2[$ par : $g(t)=\ln\left(\varphi(t)\right).$

 

a) Soit $\beta$ un réel de l'intervalle $]0\;,\ 2[.$

 

Résoudre dans $]0\;,\ 2[$ l'équation $g(t)=g(\beta).$

 

b) En déduire que la courbe $\mathcal{C}_{g}$ de la fonction $g$ dans le repère $\left(O\ ;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\right)$, est invariante par une transformation que l'on déterminera. 

 

3. Étudier les variations de $g.$ 

 

4. Tracer $\mathcal{C}_{g}.$

 

5. Soit $h$ la restriction de $g$ à l'intervalle $]0\;,\ 1].$

 

a) Montrer que $h$ est une bijection de $]0\;,\ 1]$ sur un intervalle $I$ que l'on précisera. 

 

b) Donner l'expression $h^{-1}(t)$ de $h^{-1}$ pour tout élément $t$ de $I.$ 

 

6. Soit $G=h^{-1}\circ\,g.$

 

Déterminer le domaine de définition de $G$, puis l'expression $G(t)$ de $G$ pour tout $t$ de l'intervalle $]0\;,\ 2[.$

Pour tout entier naturel $n$, on considère la fonction $\varphi_{n}$ définie sur $[0\;,\ 2]$ par :$$\varphi_{0}(t)=\sqrt{t(2-t)}\text{ et }\forall\,n\in\mathbb{N}^{\ast}\quad\varphi_{n}(t)=t^{n}\sqrt{t(2-t)}.$$

 

On désigne par $F_{n}$ la fonction définie de l'intervalle $\left[-\dfrac{\pi}{2}\;,\ \dfrac{\pi}{2}\right]$ dans $\mathbb{R}$ par :$$F_{n}(\theta)=\int_{0}^{1+\sin\theta}\varphi_{n}(t)\mathrm{d}t.$$

 

1. Justifier l'existence de $F_{n}(\theta)$ pour tout entier naturel $n$ et pour tout réel $\theta$ de l'intervalle $\left[-\dfrac{\pi}{2}\;,\ \dfrac{\pi}{2}\right]$

 

2. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $F_{n}$ est dérivable sur l'intervalle $\left[-\dfrac{\pi}{2}\;,\ \dfrac{\pi}{2}\right]$ et déterminer sa fonction dérivée $F'_{n}.$

 

3. Déterminer $F_{0}(\theta)$ et $F_{1}(\theta)$ pour $\theta\in\left[-\dfrac{\pi}{2}\;,\ \dfrac{\pi}{2}\right]$

 

4. Calculer l'aire $\mathcal{A}$ du domaine plan $\mathcal{D}$ défini par :$$\mathcal{D}=\left\lbraceM(t\;,\ y)\text{ tels que }0\leq t\leq 1\text{ et }\varphi_{0}(t)\right\rbrace$$

 

5. Dans le plan muni du repère orthonormé $\left(0\ ;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\right)$, on note $\left(\Gamma_{0}\right)$ la courbe de la fonction $\varphi_{0}$ et $\left(\Gamma'_{0}\right)$ la courbe d'équation : $y=-\varphi_{0}(t).$

 

On pose $(\Gamma)=\left(\Gamma_{0}\right)\cup\left(\Gamma'_{0}\right).$

 

Montrer que $(\Gamma)$ est un cercle dont on précisera le centre et le rayon.