Bac Maths 1er groupe, S1-S1A-S3 2024
Exercice 1
Dans l'espace, on considère 8 points O, A, B, C, D, E, F et G tels que OABCGDEF soit un cube d'arête une unité.
L'espace est muni du repère orthonormé (O ; →OA, →OC, →OG).
1. Donner les coordonnées des points A, C, G et E.
2.a) Déterminer les coordonnées du vecteur →AG∧→AC.
b) En déduire une équation cartésienne du plan (AGC).
3. Montrer que la droite (OE) est perpendiculaire au plan (AGC).
4. Déterminer les coordonnées du point I intersection de la droite (OE) et du plan (AGC).
5. Calculer alors le volume du tétraèdre OAGC.
6. On note (P) et (P′) respectivement les plans médiateurs de [AC] et de [CG] et on note S et S′ les réflexions par rapport respectivement aux plans (P) et (P′).
a) Déterminer (S′∘S)(A).
b) Démontrer que S′∘S est une rotation d'axe (OI).
c) Soit θ son angle, déterminer |θ|.
Exercice 2
1. On considère les nombres a=57370textetb=104275.
a) Déterminer le PGCD de a et b.
b) L'équation ax+by=5 admet-elle des solutions dans Z×Z ?
2. Soit (E) l'équation : 11474x+20855y=1.
a) Vérifier que le couple (3059, −1683) est solution de l'équation (E).
b) Résoudre dans Z×Z l'équation (E).
c) En déduire les solutions dans Z×Z de l'équation ax+by=5.
3. Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse :
P1 : Dans la base p où p est un entier naturel supérieur ou égal à 2, p−1 est un chiffre.
P2 : Dans la base 7, 8 est un chiffre.
P3 : Dans la base 16, E est un chiffre.
P4 : Dans la base 8, les chiffres sont : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7.
4. Deux commerçantes Anta et Fatou se rendent au marché pour acheter des articles.
Un article coûte 5 francs l'unité.
Anta et Fatou disposent respectivement d'un montant de S1 et de S2 en francs.
On sait que S1=1x00y2 en base huit, et S2=x1y003 en base sept.
a) Donner, en fonction de x et y les expressions de S1 et de S2 en base dix.
b) Déterminer les chiffres x et y pour que chacune des deux commerçantes puisse dépenser tout le montant à sa disposition.
c) En déduire le nombre d'articles que chacune d'elles pourra acheter.
Problème
Partie A
Soit n un entier naturel.
On considère la fonction fn définie par :$$f_{n}(x)=\mathrm{e}^{\left(n+\dfrac{1}{2}\right)x}\times\sqrt{2-\mathrm{e}^{x}}$
On note Cn la courbe représentative de fn dans le plan muni d'un repère orthonormé (O ; →i, →j).
L'unité graphique est 4cm.
1. Déterminer le domaine de définition de fn, puis calculer les limites aux bornes de cet ensemble.
2. Montrer que toutes les courbes Cn passent par deux points fixes que l'on déterminera.
3. Étudier les positions relatives des courbes Cn+1 et Cn pour n∈N.
4. Étudier les variations de fn.
5. Montrer que fn admet un maximum an puis exprimer an en fonction de n.
6. Dresser le tableau de variations de fn.
7. Tracer les courbes C1, C2 et C3
8. Soient (Un) et (Vn) les suites définies pour tout n∈N par : Un=ln(2n+1n+1) et Vn=fn(Un).
a) Déterminer la limite de Un.
b) Calculer la limite de ln(Vn) et en déduire celle de Vn.
Partie B
Soit φ la fonction définie sur ]0, 2[ par : φ(t)=√t(2−t)
1. Montrer que φ(et)=f0(t).
2. Soit g la fonction définie sur l'intervalle ]0, 2[ par : g(t)=ln(φ(t)).
a) Soit β un réel de l'intervalle ]0, 2[.
Résoudre dans ]0, 2[ l'équation g(t)=g(β).
b) En déduire que la courbe Cg de la fonction g dans le repère (O ; →i, →j), est invariante par une transformation que l'on déterminera.
3. Étudier les variations de g.
4. Tracer Cg.
5. Soit h la restriction de g à l'intervalle ]0, 1].
a) Montrer que h est une bijection de ]0, 1] sur un intervalle I que l'on précisera.
b) Donner l'expression h−1(t) de h−1 pour tout élément t de I.
6. Soit G=h−1∘g.
Déterminer le domaine de définition de G, puis l'expression G(t) de G pour tout t de l'intervalle ]0, 2[.
Partie C
Pour tout entier naturel n, on considère la fonction φn définie sur [0, 2] par :φ0(t)=√t(2−t) et ∀n∈N∗φn(t)=tn√t(2−t).
On désigne par Fn la fonction définie de l'intervalle [−π2, π2] dans R par :Fn(θ)=∫1+sinθ0φn(t)dt.
1. Justifier l'existence de Fn(θ) pour tout entier naturel n et pour tout réel θ de l'intervalle [−π2, π2]
2. Démontrer que pour tout entier naturel n, Fn est dérivable sur l'intervalle [−π2, π2] et déterminer sa fonction dérivée F′n.
3. Déterminer F0(θ) et F1(θ) pour θ∈[−π2, π2]
4. Calculer l'aire A du domaine plan D défini par :\mathcal{D}=\left\lbraceM(t\;,\ y)\text{ tels que }0\leq t\leq 1\text{ et }\varphi_{0}(t)\right\rbrace
5. Dans le plan muni du repère orthonormé (0 ; →i, →j), on note (Γ0) la courbe de la fonction φ0 et (Γ′0) la courbe d'équation : y=−φ0(t).
On pose (Γ)=(Γ0)∪(Γ′0).
Montrer que (Γ) est un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
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