Bac Maths 1er groupe S1 S3 2018

Le téléphone portable de Babou contient en mémoire un répertoire de $1500$ chansons dont $700$ dans la catégorie mbalax, $100$ dans la catégorie zouk, $200$ dans la catégorie techno et $500$ dans la catégorie taxourane. 

 

Une des fonctionnalités du téléphone permet d'écouter de la musique en mode ≪ lecture aléatoire ≫ : 

 

Les chansons écoutées sont choisies au hasard et de façon équiprobable.

 

$40\%$ des chansons du répertoire sont interprétées en Sérère et $28\%$ des chansons de la catégorie mbalax sont interprétées en Sérère.

 

Au cours de son footing journalier, Babou écoute une chanson grace à ce mode de lecture.

 

On note :

 

M l'évènement : « La chanson écoutée est de la catégorie mbalax. »

 

S l'évènement : « La chanson écoutée est interprétée en Sérère. »

 

1) Calculer $p(M).$ 0.75 pt

 

2) a) Déterminer $p(S)$ et $p(S/M).$ $2\times 0.25\;pt$

 

b) Calculer la probabilité que la chanson écoutée soit une chanson de la catégorie mbalax interprétée en Sérère. 1 pt

 

c) Calculer $p(M/S).$ 0.75 pt

 

3) En fait, Babou écoute de cette même façon aléatoire une chanson de son répertoire lors de son footing le matin, à la prise du petit déjeuner, sur le chemin de l'école, au déjeuner et le soir avant d'aller au lit.

 

Son cousin Bachir, fin mathématicien, lui dit qu'il a $\left[496\times(0.4)^{3}\right]\%$ de chances d'écouter au moins trois chansons Sérère à la fin de la journée.

 

Dire en le justifiant si Bachir a raison ou pas. 1 pt

Le plan complexe $\mathcal{P}$ est muni d'un repère orthonormal direct $(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v}).$

 

On considère l'application $f$ de $\mathcal{P}$ dans $\mathcal{P}$ qui a tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que $z'=\mathrm{e}^{\mathrm{i}|z|}z.$

 

1) Déterminer les affixes des points $A'$ et $B'$ images respectives par $f$ du point $A$ d'affixe $\pi$ et du point $B$ d'affixe $2\pi.$ $2\times 0.5\;pt$

 

2) Montrer qu'un point $M$ est invariant par $f$ si et seulement s'il existe un entier naturel $k$ tel que $OM=2k\pi.$ 

 

En déduire l'ensemble $\mathbb{E}$ des points invariants par $f.$ $2\times 0.5\;pt$

 

3) Soit $C$ le point d'affixe $1+\mathrm{i}\sqrt{3}$ et $\Delta$ la demi-droite d'origine $O$ passant par $C$ et ne contenant pas le point $O$ $\left(\text{Demi-droite ouverte }]OC)\right)$, $M$ un point de $\Delta$ d'affixe $z$ et d'image $M'$ par $f.$

 

Déterminer $|z|$ pour que $M$ et $M'$ soient symétriques par rapport l'axe $(O\;,\ \vec{u}).$ 0.5 pt

 

4) Pour tout $k\in\mathbb{N}^{\ast}$, on note $\mathcal{C}_{k}$ le cercle de centre $O$ et de rayon $2k\pi$, $\mathcal{D}_{k}$ la couronne délimitée par les cercles $\mathcal{C}_{k}$ et $\mathcal{C}_{k+1}$ et $a_{k}$ l'aire de la couronne $\mathcal{D}_{k}.$

 

a) Calculer $a_{k}.$ 0.5 pt

 

b) Déterminer la nature de la suite $\left(a_{n}\right)n\in\mathbb{N}^{\ast}.$ 0.5 pt

 

c) Calculer la limite de la suite  $\left(a_{n}\right)n\in\mathbb{N}^{\ast}.$ 0.5 pt

 

5) Soit $k\in\mathbb{N}^{\ast}.$

 

a) Déterminer les points de $\Delta\cap\mathcal{D}_{k}$ qui sont symétriques avec leur image par rapport à l'axe $(O\;,\ \vec{u}).$ 0.5 pt

 

b) Montrer que tout point de $\mathcal{D}_{k}$ a son image par $f$ dans $\mathcal{D}_{k}.$ 0.5 pt

Partie A (3 points)

 

1) Résoudre l'équation différentielle $y'+y=0.$ 0.5 pt

 

Soit $\varphi$ une application dérivable de $\mathbb{R}_{+}^{\ast}$ dans $\mathbb{R}$, et soit $g$ l'application numérique définie sur $\mathbb{R}^{\ast}_{+}$ par $g(x)=\varphi(x)\mathrm{e}^{x}.$

 

2) a) Vérifier que $g$ est dérivable en tout point $x$ de $\mathbb{R}^{\ast}_{+}$ et démontrer que, pour que $\varphi$ vérifie

$$\forall\,x\in\mathbb{R}^{\ast}_{+}\;,\ \varphi'(x)+\varphi(x)=-\dfrac{1}{x}-\ln x\;,\quad (1)$$

 

Il faut et il suffit que $g$ soit une primitive de l'application $x\mapsto-\mathrm{e}^{x}\ln x-\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}.$ $0.5+1\;pt$

 

b) Quel est l'ensemble des primitives de la fonction $x\mapsto-\mathrm{e}^{x}\ln x-\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}$  ? 0.5 pt

 

3) En déduire que l'ensemble des applications dérivables de $\mathbb{R}^{\ast}_{+}$ dans $\mathbb{R}$ vérifiant (1) est l'ensemble des applications $x\mapsto a\mathrm{e}^{-x}-\ln x$ où $a$ désigne une constante réelle. 0.5 pt

 

Partie B (5.25 points)

 

Soit $f$ l'application de $\mathbb{R}^{\ast}_{+}$ dans $\mathbb{R}$ définie par : 

 

$\forall\,x\in\mathbb{R}^{\ast}_{+}\;,\ f(x)=\mathrm{e}^{1-x}-\ln x.$

 

1) a) Étudier les variations de $f$ et construire sa représentation graphique dans un repère orthonormé. $0.75+0.25\;pt$

 

Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $c$ et que $c\in]1\;,\ 2[.$ $0.5+0.25\;pt$

 

b) Calculer $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}xf(x).$ 0.25 pt

 

c) Soit $x$ un élément de l'intervalle $]0\;,\ 1].$

 

Calculer l'intégrale $$F(x)=\int^{1}_{x}f(t)\mathrm{d}t$$ en fonction de $x.$ 0.5 pt

 

Montrer que lorsque $x$ tend vers $0$, $F(x)$ tend vers $\mathrm{e}.$ 0.25 pt

 

2) Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2.$

 

a) Montrer que, pour tout entier $k$ tel que $1\leq k\leq n-1$ et pour tout réel $t$ tel que

$$\dfrac{k}{n}\leq t\leq\dfrac{k+1}{n}\;,\text{ on a : }f\left(\dfrac{k+1}{n}\right)\leq f(t)\leq f\left(\dfrac{k}{n}\right).\quad 0.25\;pt$$

 

b) Montrer alors que $$\dfrac{1}{n}\sum_{k=2}^{n}f\left(\dfrac{k}{n}\right)\leq F\left(\dfrac{1}{n}\right)\leq\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1}f\left(\dfrac{k}{n}\right)\;,\quad 0.5\;pt$$

 

En déduire que $F\left(\dfrac{1}{n}\right)+\dfrac{1}{n}\leq\dfrac{1}{n}\leq\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(\dfrac{k}{n}\right)\leq F\left(\dfrac{1}{n}\right)+\dfrac{1}{n}f\left(\dfrac{1}{n}\right).$ 0.25 pt

 

3) a) Déduire des questions précédentes que, lorsque $n$ tend vers l'infini, $\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(\dfrac{k}{n}\right)$ admet une limite et calculer cette limite. 0.5 pt

 

b) Établir les égalités :

$$\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\mathrm{e}^{\left(1-\dfrac{k}{n}\right)}=(\mathrm{e}-1)\dfrac{1}{n}\left(\mathrm{e}^{\dfrac{1}{n}-1}\right)\text{ et }\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\ln\left(\dfrac{k}{n}\right)=\dfrac{1}{n}\ln\left(\dfrac{n !}{n^{n}}\right)\quad 2\times 0.25\;pt$$

 

c) Utiliser les résultats précédents pour démontrer que les deux suites définies par :

$$u_{n}=\dfrac{1}{n}\ln\left(\dfrac{n !}{n^{n}}\right)\text{ et }v_{n}=\dfrac{n}{\sqrt[n]{n !}}$$

 

ont des limites lorsque $n$ tend vers l'infini et calculer ces limites. $2\times 0.25\;pt$

 

Partie C (2.75 points)

 

1) a) Déterminer le sens de variation de $f'$ dans l'intervalle $[1\;,\ 2].$ 0.5 pt

 

Soit $\mathcal{P}$ l'application de $\mathbb{R}^{\ast}_{+}$ dans $\mathbb{R}$ définie par : 

$$\forall\,x\in\mathbb{R}^{\ast}_{+}\;,\ P(x)=x-\dfrac{f(x)}{f'(1)}$$

 

b) Étudier les variations de $\mathcal{P}$ dans l'intervalle $[1\;,\ 2].$

 

Montrer que $\mathcal{P}$ réalise une bijection de $[1\;,\ c]$ sur un intervalle $J$ contenu dans $[1\;,\ c].$ $0.5+0.25\;pt$

 

En déduire que l'on définit bien une suite $c_{n}$ d'éléments de $[1\;,\ c]$ en posant $c_{0}=1$ et pour tout entier naturel $n$, $c_{n+1}=\mathcal{P}(c_{n}).$ 0.25 pt

 

2) a) Montrer que pour tout $x\in[1\;,\ 2]\;,\ 0\leq P'(x)\leq P'(2)\leq\dfrac{7}{12}.$ 0.25 pt

 

b) En utilisant le théorème des accroissements finis, vérifier que pour tout entier $n$,

$$\left|c_{n+1}-c\right|\leq\dfrac{7}{12}\left|c_{n}-c\right|.\quad 0.5\;pt$$ 

 

En déduire que la suite $(c_{n})$ est convergente et déterminer sa limite. 0.25 pt

 

c) Quelle valeur suffit-il de donner à $n$ pour que $c_{n}$ soit une valeur approchée de $c$ à $10^{-2}$ près ? 0.25 pt