Bac Maths 1er groupe S1 S3 2018
Exercice 1 (4 points)
Le téléphone portable de Babou contient en mémoire un répertoire de 1500 chansons dont 700 dans la catégorie mbalax, 100 dans la catégorie zouk, 200 dans la catégorie techno et 500 dans la catégorie taxourane.
Une des fonctionnalités du téléphone permet d'écouter de la musique en mode ≪ lecture aléatoire ≫ :
Les chansons écoutées sont choisies au hasard et de façon équiprobable.
40% des chansons du répertoire sont interprétées en Sérère et 28% des chansons de la catégorie mbalax sont interprétées en Sérère.
Au cours de son footing journalier, Babou écoute une chanson grace à ce mode de lecture.
On note :
M l'évènement : « La chanson écoutée est de la catégorie mbalax. »
S l'évènement : « La chanson écoutée est interprétée en Sérère. »
1) Calculer p(M). 0.75 pt
2) a) Déterminer p(S) et p(S/M). 2×0.25pt
b) Calculer la probabilité que la chanson écoutée soit une chanson de la catégorie mbalax interprétée en Sérère. 1 pt
c) Calculer p(M/S). 0.75 pt
3) En fait, Babou écoute de cette même façon aléatoire une chanson de son répertoire lors de son footing le matin, à la prise du petit déjeuner, sur le chemin de l'école, au déjeuner et le soir avant d'aller au lit.
Son cousin Bachir, fin mathématicien, lui dit qu'il a [496×(0.4)3]% de chances d'écouter au moins trois chansons Sérère à la fin de la journée.
Dire en le justifiant si Bachir a raison ou pas. 1 pt
Exercice 2 (5 points)
Le plan complexe P est muni d'un repère orthonormal direct (O, →u, →v).
On considère l'application f de P dans P qui a tout point M d'affixe z associe le point M′ d'affixe z′ telle que z′=ei|z|z.
1) Déterminer les affixes des points A′ et B′ images respectives par f du point A d'affixe π et du point B d'affixe 2π. 2×0.5pt
2) Montrer qu'un point M est invariant par f si et seulement s'il existe un entier naturel k tel que OM=2kπ.
En déduire l'ensemble E des points invariants par f. 2×0.5pt
3) Soit C le point d'affixe 1+i√3 et Δ la demi-droite d'origine O passant par C et ne contenant pas le point O (Demi-droite ouverte ]OC)), M un point de Δ d'affixe z et d'image M′ par f.
Déterminer |z| pour que M et M′ soient symétriques par rapport l'axe (O, →u). 0.5 pt
4) Pour tout k∈N∗, on note Ck le cercle de centre O et de rayon 2kπ, Dk la couronne délimitée par les cercles Ck et Ck+1 et ak l'aire de la couronne Dk.
a) Calculer ak. 0.5 pt
b) Déterminer la nature de la suite (an)n∈N∗. 0.5 pt
c) Calculer la limite de la suite (an)n∈N∗. 0.5 pt
5) Soit k∈N∗.
a) Déterminer les points de Δ∩Dk qui sont symétriques avec leur image par rapport à l'axe (O, →u). 0.5 pt
b) Montrer que tout point de Dk a son image par f dans Dk. 0.5 pt
Problème (11 points)
Partie A (3 points)
1) Résoudre l'équation différentielle y′+y=0. 0.5 pt
Soit φ une application dérivable de R∗+ dans R, et soit g l'application numérique définie sur R∗+ par g(x)=φ(x)ex.
2) a) Vérifier que g est dérivable en tout point x de R∗+ et démontrer que, pour que φ vérifie
∀x∈R∗+, φ′(x)+φ(x)=−1x−lnx,(1)
Il faut et il suffit que g soit une primitive de l'application x↦−exlnx−exx. 0.5+1pt
b) Quel est l'ensemble des primitives de la fonction x↦−exlnx−exx ? 0.5 pt
3) En déduire que l'ensemble des applications dérivables de R∗+ dans R vérifiant (1) est l'ensemble des applications x↦ae−x−lnx où a désigne une constante réelle. 0.5 pt
Partie B (5.25 points)
Soit f l'application de R∗+ dans R définie par :
∀x∈R∗+, f(x)=e1−x−lnx.
1) a) Étudier les variations de f et construire sa représentation graphique dans un repère orthonormé. 0.75+0.25pt
Démontrer que l'équation f(x)=0 admet une solution unique c et que c∈]1, 2[. 0.5+0.25pt
b) Calculer limx→0+xf(x). 0.25 pt
c) Soit x un élément de l'intervalle ]0, 1].
Calculer l'intégrale F(x)=∫1xf(t)dt en fonction de x. 0.5 pt
Montrer que lorsque x tend vers 0, F(x) tend vers e. 0.25 pt
2) Soit n un entier supérieur ou égal à 2.
a) Montrer que, pour tout entier k tel que 1≤k≤n−1 et pour tout réel t tel que
kn≤t≤k+1n, on a : f(k+1n)≤f(t)≤f(kn).0.25pt
b) Montrer alors que 1nn∑k=2f(kn)≤F(1n)≤1nn−1∑k=1f(kn),0.5pt
En déduire que F(1n)+1n≤1n≤1n∑nk=1f(kn)≤F(1n)+1nf(1n). 0.25 pt
3) a) Déduire des questions précédentes que, lorsque n tend vers l'infini, 1n∑nk=1f(kn) admet une limite et calculer cette limite. 0.5 pt
b) Établir les égalités :
1nn∑k=1e(1−kn)=(e−1)1n(e1n−1) et 1nn∑k=1ln(kn)=1nln(n!nn)2×0.25pt
c) Utiliser les résultats précédents pour démontrer que les deux suites définies par :
un=1nln(n!nn) et vn=nn√n!
ont des limites lorsque n tend vers l'infini et calculer ces limites. 2×0.25pt
Partie C (2.75 points)
1) a) Déterminer le sens de variation de f′ dans l'intervalle [1, 2]. 0.5 pt
Soit P l'application de R∗+ dans R définie par :
∀x∈R∗+, P(x)=x−f(x)f′(1)
b) Étudier les variations de P dans l'intervalle [1, 2].
Montrer que P réalise une bijection de [1, c] sur un intervalle J contenu dans [1, c]. 0.5+0.25pt
En déduire que l'on définit bien une suite cn d'éléments de [1, c] en posant c0=1 et pour tout entier naturel n, cn+1=P(cn). 0.25 pt
2) a) Montrer que pour tout x∈[1, 2], 0≤P′(x)≤P′(2)≤712. 0.25 pt
b) En utilisant le théorème des accroissements finis, vérifier que pour tout entier n,
|cn+1−c|≤712|cn−c|.0.5pt
En déduire que la suite (cn) est convergente et déterminer sa limite. 0.25 pt
c) Quelle valeur suffit-il de donner à n pour que cn soit une valeur approchée de c à 10−2 près ? 0.25 pt
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