Bac Maths 1er groupe S2-S2A-S4-S5 2022
Exercice 1 : (04 pts)
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\left(O\,\ \vec{u}\ ;\ \vec{v}\right).$
Soit le nombre complexe $a$ défini par $a=\sqrt{2-\sqrt{3}-\mathrm{i}\sqrt{2+\sqrt{3}}}.$
1) Montrer que $a^{2}=-2\sqrt{3}-2\mathrm{i}$, puis en déduire le module de $a.$
a) Écrire $a^{2}$ sous forme trigonométrique puis vérifier qu'une des mesures de l'argument de $a$ est $\dfrac{19\pi}{12}.$
3) En déduire les valeurs exactes de $\cos\left(\dfrac{7\pi}{12}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{7\pi}{12}\right)$ puis de $\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$
4) Représenter sur le même graphique les points images de $a$, $-a$ et $a^{2}.$
Exercice 2 : (04 pts)
On jette trois fois de suite un dé non truqué à six faces portant les chiffres allant de $1$ à $6.$
On lit les numéros des faces supérieures et on les note dans cet ordre $a$, $b$, $c.$
Puis on forme l'équation du second degré $(E)\ :\ ax^{2}+bx+c=0.$
On note $\Omega$ l'univers de cette expérience aléatoire.
1) Soit $A$ l'événement : $«-1$ est solution de $(E)$ et $b=6».$
Justifier que la probabilité de l'événement $A$ est $p(A)=\dfrac{5}{216}.$
2) On considère les événements suivants :
$B\ :\ «-2$ est solution de $(E)$ et $c=4».$
$C\ :\ $« la somme des solutions est $-2$ et leur produit est $1\ ».$
$D\ :\ $« les deux solutions sont confondues et $b=4\ ».$
La probabilité de chacun des événements $B$, $C$ et $D$ appartient à l'ensemble $I=\left\lbrace\dfrac{1}{72}\ ;\ \dfrac{1}{108}\ ;\ \dfrac{1}{54}\right\rbrace.$
Donner la probabilité de chacun des événements $B$, $C$ et $D$ en le justifiant.
3) L'épreuve précédente est répétée $10$ fois de suite et de façon indépendante.
a) Soit $F$ l'événement : " L'événement $A$ se réalise une seule fois au $3^{ème}$ essai ".
Montrer que la probabilité de l'événement $F$ est $p(F)=\dfrac{5\times(211)^{9}}{(216)^{10}}$
b) Soit $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de réalisations de l'événement $A$ à l'issue des $10$ épreuves.
b) 1) Déterminer la loi de probabilité de $Y.$
b) 2) Montrer que le nombre espéré de réalisations de $A$ est égal à $\dfrac{25}{108}$
b) 3) Calculer la variance de $Y.$
Problème (12 points)
A. Soit la fonction $f$ définie par :
$$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{lcr} 1+x-x\ln x&\text{si}&0<x<1\\\\ 1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}&\text{si}&x\geq 1 \end{array}\right.$$
et $\left(\mathcal{C_{f}}\right)$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère othonormal $\left(O\,\ \vec{i}\ ;\ \vec{j}\right)$, d'unité $2\,cm.$
1) Montrer que l'ensemble de définition de $f$ est $D_{f}=]0\;,\ +\infty[$
2) Étudier la continuité de $f$ en $1$
3) Étudier la dérivabilité de $f$ en $1$ et interpréter graphiquement les résultats obtenus.
4) Déterminer les limites de $f$ aux bornes de $D_{f}$ et interpréter graphiquement, si possible, les résultats obtenus.
5) Montrer que $f$ admet un prolongement par continuité à droite en $0$ et définir ce prolongement $h.$
6) Étudier la dérivabilité de $h$ à droite en $0$ et interpréter graphiquement le résultat.
7) Calculer $f'(x)$ dans chacun des intervalles $]0\;,\ 1[$ et $]1\;,\ +\infty[$
Dresser le tableau de variations de $f$
8) a) Tracer $\left(\mathcal{C_{f}}\right)$
b) Calculer l'aire $\mathfrak{A}$ en $cm^{2}$ de la partie du plan comprise entre $\left(\mathcal{C_{f}}\right)$, la droite d'équation $y=1$, la droite d'équation $x=1$ et la droite d'équation $x=4.$
B. 1) Soit $g$ la restriction de $f$ à l'intervalle $[1\;,\ +\infty[.$
a) Montrer que l'équation $g(x)=x$ admet une unique solution $\alpha$ et que $1<\alpha<2$
En déduire un encadrement de $\alpha$ à $10^{-1}$ près.
b) Montrer que : $\forall\,x\in\,[1\;,\ +\infty[\;,\ |g'(x)|\leq\dfrac{1}{2}.$
c) En déduire que : $\forall\,x\in\,[1\;,\ +\infty[\;,\ |g(x)-\alpha|\leq\dfrac{1}{2}|x-\alpha|.$
2) Soit $\left(W_{n}\right)$ la suite définie par :
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} W_{0}&=&2\\\\W_{n+1}&=&1+\dfrac{1}{\sqrt{W_{n}}}\;,\ n\in\mathbb{N} \end{array}\right.$$
Démontrer que : $\forall\,n\in\mathbb{N}\;,$
a) $w_{n}\geq 1.$
b) $\left|W_{n+1}-\alpha\right|\leq\dfrac{1}{2}\left|W_{n}-\alpha\right|.$
c) $\left|W_{n}-\alpha\right|\leq\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\left|W_{0}-\alpha\right|.$
En déduire $\lim\;Wn_{\ n\longrightarrow\;+\infty}$
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