Bac Maths 2e groupe S2, S2A, S4, S5 2024

 

Une entreprise sénégalaise effectue un don d'engrais (en milliers de kilogrammes) à la culture d'arachide dans cinq régions du pays. 

 

Son intention est de tester l'efficacité de son engrais par rapport à la production (en milliers de tonnes) obtenue. 

 

Le tableau ci-dessous représente la production d'arachide $\left(y_{i}\right)$ en fonction de la quantité d'engrais $\left(x_{i}\right)$ utilisée.

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|} \hline x_{i}&6&8&9&10&12\\ \hline y_{i}&10&14&15&18&20\\ \hline \end{array}$$

 

A l'aide des informations ci-dessus et des outils mathématiques au programme :

 

1. la production d'arachide obtenue est-elle fortement corrolée à la quantité d'engrais utilisée ? Justifier la réponse. 

 

2. donner une estimation de la production si le don d'engrais s'élève à $20$ (en milliers de kilogrammes).

Un dé truqué à six faces numérotées de $1$ à $6$ est tel que les faces $1$ et $6$ ont la même probabilité de sortie et apparaissent deux fois plus que les autres faces. 

 

On note $P_{i}$ la probabilité d'apparition de la face numérotée $i.$

 

1. Montrer que $P_{1}=\dfrac{1}{4}.$

 

2. En déduire $P_{2}\;,\ P_{3}\;,\ P_{4}\;,\ P_{5}\text{ et }P_{6}.$ 

 

3. Soit $A$ l'événement « obtenir un nombre pair ». 

 

Calculer la probabilité de $A.$ 

 

4. On lance $10$ fois de suite ce dé. 

 

Les résultats des lancers étant indépendants, déterminer la probabilité d'obtenir $6$ fois un nombre pair. 

On désigne par $f$ une fonction non constante, positive et deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que :$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} \left(f(x)\right)^{2} -\left(f'(x)\right)^{2}&=&1\;,\quad\forall\,x\in\mathbb{R}\\f'(0)&=&0 \end{array}\right.$$

 

1. Calculer $f(0).$ 

 

2. Montrer que pour tout réel $x,\ f"(x)=f(x).$ 

 

3. On pose $(x)=f'(x)+f(x)\text{ et }j(x)=f'(x)-f(x).$

 

a. Calculer $j(0)$ et $k(0).$ 

 

b. Montrer que pour tout réel $x\;,\ k'(x)=k(x)$ et $j'(x)=-j(x).$ 

 

c. En déduire l'expression algébrique de $k(x)$ et $j(x)$ puis montrer que $f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{2}.$