Bac maths 2eme groupe S2 2018

Chaque bonne réponse rapporte $1.5\;\text{point}$ et chaque mauvaise ou absence de réponse vaut 0 point.

$\mathrm{i}$ est un nombre complexe.

1) $\mathrm{i}^{2018}$ est égal à :

2) $\cos^{3}x$ est égal à :

a) $\dfrac{1}{4}\cos 3x+\dfrac{3}{4}\cos x\;;\quad$ b) $3\cos x$

c) $-\sin3x\;;\quad$ d) $\cos 2x\sin x-\cos x\sin 2x$

3) $\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\mathrm{i}}{2}\right)^{12}$ est égal à :

a) $-1\;;\qquad$ b) $0\;;\qquad$ c) $1\;;\qquad$ d) $12\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\mathrm{i}}{2}\right)$

4) $$\int_{1}^{6}\dfrac{\ln x}{x}$$ est égal à :

a) $\dfrac{1}{\mathrm{e}}\;;\qquad$ b) $\dfrac{1}{2}\;;\qquad$ c) $1\;;\qquad$ d) $\mathrm{e}$

Une école de formation professionnelle veut organiser des circuits de sorties pédagogiques comprenant, dans un ordre donné, les 6 villes sénégalaises : Dakar, Fatick, Kédougou, Saint-Louis, Thiès et Ziguinchor.

1) Combien y-a-t-il de circuits possibles ?

2) Si la première ville visitée est Saint-Louis, combien peut-on organiser de circuits ?

3) Cette école programme aussi des circuits permettant de visiter de visiter successivement 2 villes.

a) Si les excursions sont organisées dans les 6 villes citées précédemment, quelle est la probabilité que Fatick ou Ziguinchor en fasse partie ?

b) Si l'école décide d'organiser 56 circuits dans d'autres villes, combien de villes différentes va-t-elle faire visiter ?

On considère la suite $(U_{n})$ définie sur $\mathbb{N}$ par : $U_{n}=\mathrm{e}^{2-n}.$

1) a) Montrer que $(U_{n})$ est une suite géométrique. Préciser la raison et le premier terme.

b) Soit $(V_{n})$ la suite définie sur $\mathbb{N}$ par : $V_{n}=\ln U_{n}.$

Montrer que $(V_{n})$ est une suite arithmétique. Préciser la raison et le premier terme.

2) On pose $S_{n}=U_{0}+U_{1}+\cdots+U_{n}\text{ et }P_{n}=U_{0}\times U_{1}\times\cdots\times U_{n}.$

a) Exprimer $S_{n}\text{ et }P_{n}$ en fonction de $n.$

b) Étudier la convergence de $(S_{n})\text{ et de }(P_{n}).$

1) En utilisant une intégration par parties, calculer $$\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}x\sin 2x$$

2) Calculer l'intégrale suivante : $$\int_{0}^{\pi}\sin^{3}x\cos^{2}x\mathrm{d}x$$