Bac Maths 2ième groupe S1 S3 2013

 

Exercice 1 (5 points) 

Soit d un entier naturel supérieur ou égal à 2.
 
Soit n est un entier naturel dont l'écriture dans la base d est ¯1121.
 
On sait de plus que l'entier 4n s'écrit ¯4514 dans la base d.
 
1) Calculer n(d3+d2+2d).
 
En déduire que n et d sont premiers entre eux.  2×0.75 pt
 
2) Démontrer n et d s'écrivent respectivement 207 et 7 en base 10.
 
Quelle est l'écriture en base 7 du nombre qui s'écrit 704 en en base 10 ?  1+1 pts
 
3) a) En utilisant la question 1) déterminer une solution particulière de l'équation
(E) : nx+dx=1, (x, y)Z2.0.5
 
b) Résoudre l'équation (E).  1 pt

Exercice 2 (5 points)

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
 
Une urne contient une boule portant le numéro 0 ; 21 boule portant le numéro 1 ; 22 boules portant le numéro 2 ; 23 boules portant le numéro 3 ; 24 boules portant le numéro 4 ; 25 boules portant le numéro 5 et 26 boules portant le numéro 6.
 
Les boules sont indiscernables au toucher.
 
1) Quel est le nombre total de boules dans l'urne ?  0.75 pt
 
2) On extrait au hasard une boule de l'urne.
 
Soit X la variable aléatoire égale au numéro de la boule tiré.
 
Déterminer la loi de probabilité de X.  1.75 pt
 
3) a) Démontrer par récurrence que nk=1k2k=(n1)2n+1+2.  1.25 pt
 
b) EN déduire l'espérance mathématique E(X) de X  1.25 pt

Exercice 3 (5 points)

On note F l'ensemble des fonctions f définies et dérivables sur R+, vérifiant :
 
xR+, f(x)+f(x)=xsinx.
 
Soit h la fonction définie sur R+ par h(x)=xsinx.
 
1) a) Soit fF.
 
Démontrer que la fonction H définie sur R+ par H(x)=xf(x) est une primitive de h.  1 pt
 
b) Réciproquement, soit H une primitive de h.
 
Démontrer que la fonction f définie sur R+ par f(x)=H(x)x est un élément de F.  1 pt
 
2) a) A l'aide d'une intégration par parties, déterminer l'ensemble des primitives de h.  0.75 pt
 
b) En déduire l'ensemble F.  0.75 pt
 
3) a) Pour quelle valeur du paramètre réel c la fonction xsinx+cx admet-elle une limite quand x tend vers 0 ?
 
Déterminer alors cette limite.  0.75 pt
 
b) En déduire l'ensemble des éléments de F ayant une limite finie quand x tend vers 0+.  0.75 pt

Exercice 4 (5 points)

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé direct (O, i, j, k.
 
On considère les points A(2, 1, 3), B(2, 0, 8) et C(3, 2, 4) et la droite (Δ) ayant pour système d'équations paramétriques {x=52ty=3+3t, tRz=5t
 
1) a) Calculer le produit scalaire ABAC.  0.5 pt
 
b) Calculer le produit vectoriel ABAC.
 
En déduire que les points A, B et C définissent un plan perpendiculaire à (Δ).  0.5+1 pt
 
c) Donner alors une équation cartésienne du plan (ABC).  1 pt
 
2) Soit H le point commun à la droite (Δ) et au plan (ABC).
 
a) Vérifier que le barycentre de (A, 3), (B, 1) et (C, 3) est égal à H.  1 pt
 
b) Déterminer la nature de l'ensemble de Γ des points M de l'espace tels que :
(3MA+MB3MC)=0.1pt
 

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