Bac Maths 2ième groupe S1 S3 2013
Exercice 1 (5 points)
Soit d un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Soit n est un entier naturel dont l'écriture dans la base d est ¯1121.
On sait de plus que l'entier 4n s'écrit ¯4514 dans la base d.
1) Calculer n−(d3+d2+2d).
En déduire que n et d sont premiers entre eux. 2×0.75 pt
2) Démontrer n et d s'écrivent respectivement 207 et 7 en base 10.
Quelle est l'écriture en base 7 du nombre qui s'écrit 704 en en base 10 ? 1+1 pts
3) a) En utilisant la question 1) déterminer une solution particulière de l'équation
(E) : nx+dx=1, (x, y)∈Z2.0.5
b) Résoudre l'équation (E). 1 pt
Exercice 2 (5 points)
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Une urne contient une boule portant le numéro 0 ; 21 boule portant le numéro 1 ; 22 boules portant le numéro 2 ; 23 boules portant le numéro 3 ; 24 boules portant le numéro 4 ; 25 boules portant le numéro 5 et 26 boules portant le numéro 6.
Les boules sont indiscernables au toucher.
1) Quel est le nombre total de boules dans l'urne ? 0.75 pt
2) On extrait au hasard une boule de l'urne.
Soit X la variable aléatoire égale au numéro de la boule tiré.
Déterminer la loi de probabilité de X. 1.75 pt
3) a) Démontrer par récurrence que ∑nk=1k2k=(n−1)2n+1+2. 1.25 pt
b) EN déduire l'espérance mathématique E(X) de X 1.25 pt
Exercice 3 (5 points)
On note F l'ensemble des fonctions f définies et dérivables sur R∗+, vérifiant :
∀x∈R∗+, f′(x)+f(x)=xsinx.
Soit h la fonction définie sur R∗+ par h(x)=xsinx.
1) a) Soit f∈F.
Démontrer que la fonction H définie sur R∗+ par H(x)=xf(x) est une primitive de h. 1 pt
b) Réciproquement, soit H une primitive de h.
Démontrer que la fonction f définie sur R∗+ par f(x)=H(x)x est un élément de F. 1 pt
2) a) A l'aide d'une intégration par parties, déterminer l'ensemble des primitives de h. 0.75 pt
b) En déduire l'ensemble F. 0.75 pt
3) a) Pour quelle valeur du paramètre réel c la fonction x↦sinx+cx admet-elle une limite quand x tend vers 0 ?
Déterminer alors cette limite. 0.75 pt
b) En déduire l'ensemble des éléments de F ayant une limite finie quand x tend vers 0+. 0.75 pt
Exercice 4 (5 points)
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé direct (O, →i, →j, →k.
On considère les points A(2, 1, 3), B(−2, 0, 8) et C(3, 2, 4) et la droite (Δ) ayant pour système d'équations paramétriques {x=−5−2ty=−3+3t, t∈Rz=5−t
1) a) Calculer le produit scalaire →AB⋅→AC. 0.5 pt
b) Calculer le produit vectoriel →AB∧→AC.
En déduire que les points A, B et C définissent un plan perpendiculaire à (Δ). 0.5+1 pt
c) Donner alors une équation cartésienne du plan (ABC). 1 pt
2) Soit H le point commun à la droite (Δ) et au plan (ABC).
a) Vérifier que le barycentre de (A, 3), (B, 1) et (C, −3) est égal à H. 1 pt
b) Déterminer la nature de l'ensemble de Γ des points M de l'espace tels que :
(3→MA+→MB−3→MC)=0.1pt
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