Bac Maths C et E, Benin 2011

 

Pour susciter l'inscription des élèves en série C, la commune de DUNYA a organisé un championnat doté de prix pour les élèves de terminale C. la cérémonie de remise des récompenses a été organisée au $CEG$ $EFI.$ Les élèves de la classe de terminale C ont été chargés de la préparation de la salle des fêtes. Deux cents $(200)$ chaises ont été déplacées des salles de classe vers la salle des fêtes par un groupe d'élèves constitués de garçons et filles. Les garçons ont chacun pris 8 chaises et les filles ont pris chacune $5$ chaises. Il y a plus de garçons que de filles dans le groupe. Patrick qui est un élève doué en informatique, a décidé de projeter sur l'un des murs de la salle des fêtes des décorations lumineuses obtenues en traçant sur un ordinateur des configurations planes. Bio, un élève de terminale C d'un établissement voisin, qui a pris part à la cérémonie, est impressionné par le travail accompli par ses camarades. Le responsable de la terminale C du $CEG$ $EFI$, demande à Bio de déterminer le nombre $u$ de garçons et celui $v$ de filles ayant procédé au ramassage de chaises.

Tu vas résoudre les trois problèmes ci-après afin, de mieux appréhender le travail abattu par les élèves.

1. Justifie que $8u+5v=200.$

 

2. Résoudre dans $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ l'équation $8u+5v=200.$

 

3. Déduis-en les valeurs de $u$ et $v$

Le premier prix décerné pour ce championnat est un objet en verre en forme de cube $ABCDEFGH$ comportant la configuration $(\Gamma)$ de l'espace définie par l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que : $(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD})\cdot(\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{MH})=0$ et l'image $(\Gamma')$ de $(\Gamma)$ par la réflexion de plan $(EFG).$ 

 

On muni l'espace du repère orthonormé $(A\ ;\ \overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AD}\;,\ \overrightarrow{AE}).$

 

On désigne par $O$ le centre du carré $ABCD$ et $O'$ le centre du carré $EFGH.$

 

4. Démontre que $(\Gamma)$ est une sphère dont tu préciseras le centre $\Omega$ et le rayon

 

5. Soit $s$ la réflexion du plan $(EFG)$

 

a) Détermine une équation cartésienne du plan $(EFG).$

 

b) Détermine l'expression analytique de $s.$

 

6. Détermine la nature et les éléments caractéristiques de $(\Gamma').$

Les décorations lumineuses projetées ont été obtenues en représentant les courbes $\left(\mathcal{C_{m}}\right)$ d'équations : $y^{2}=mx^{2}−(m−1)x−3(2m+1)$ dans le plan muni d'un repère orthonormé 

$\left(O\;,\ \overrightarrow{\mathrm{e_{1}}}\;,\ \overrightarrow{\mathrm{e_{1}}}\right)$, $m$ étant un paramètre réel.

7. Justifie que toutes les courbes passent par $A(3\ ;\ 0).$

8. Précise la nature et les éléments caractéristiques de $(\mathcal{C_{0}}).$

9. On suppose que $m\neq 0.$

Détermine suivant la valeur du paramètre $m$, la nature de $(\mathcal{C_{0}}).$

10. Trace sur la même figure les courbes $(\mathcal{C_{0}})$, $(\mathcal{C_{-1}})$ et $(\mathcal{C_{1}})$ pour te faire une idée de quelques images de la décoration lumineuse.

Pour rendre plus attractif son décor, Patrick a représenté sur le graphique précédent la droite $(\mathcal{D})$ d'équation $y=5x-21$ et a hachuré la surface $\mathcal{S}$ limitée par la courbe $(\mathcal{C_{1}})$ et le segment $[UV]$, $U$ et $V$ sont les points communs de $(\mathcal{C_{1}})$ et $(\mathcal{D})$ ; $U$ étant le point d'ordonnée positif. Bio est intéressé par l'aire de la surface $\mathcal{S}.$

11. Détermine les coordonnées des points $U$ et $V$, et hachure sur ta figure la surface $\mathcal{S}.$

12. Soit $\mathcal{T}$ la similitude directe plane, qui transforme $A(3\ ;\ 0)$ en $A'(3\ ;\ -3)$ et $B(-3\ ;\ 0)$ en $H'(-3\ ;\ 3).$

a) Détermine l'écriture complexe de $\mathcal{T}.$

b) Détermine l'équation cartésienne de l'image $(\mathcal{C'_{1}})$ de $(\mathcal{C_{1}})$ par $\mathcal{T}$ et celle de l'image $(\mathcal{D'})$ de $(\mathcal{D})$ par $\mathcal{T}.$

c) Détermine les coordonnées des points $U'$ et $V'$ images respectives de $U$ et $V$ par $\mathcal{T}.$

13. Soit $\mathcal{S'}$ l'image de $\mathcal{S}$ par $\mathcal{T}.$

a) Justifie que l'aire $\mathcal{A}(\mathcal{S'})$ de la surface $\mathcal{S'}$ est donnée en unités d'aire par
$$\mathcal{A}(\mathcal{S'})=\int_{\dfrac{3}{2}}^{3}\left[-\dfrac{9}{x}-\left(\dfrac{2}{3}x-\left(\dfrac{2}{3}x-7\right)\right)\right]\mathrm{d}x.$$

a) Calcule l'aire $\mathcal{A}(\mathcal{S'}).$

b) Déduis-en l'aire de $\mathcal{S}.$