Bac Maths C et E, Benin 2013

 

Contexte : Premier pas d'un jeune bachelier en Architecture

Jean est un lauréat du baccalauréat série C, il se propose d'utiliser ses connaissances pour l'élaboration du plan et de la décoration de la nouvelle maison que son père projette de construire. Dans ses préoccupations, il suggère la construction d'une paillote dont le plancher aura la forme de l'ensemble () des points M du plan tels que : MF+MF5F  et  F sont deux points distincts données du plan, matérialisé par le plancher (unité de longueur 1m). La toiture de cette paillote aura la forme d'une pyramide de sommet S.

Jean se propose également de dessiner le motif décoratif du mur de la clôture de la maison. Son père veut en savoir un peu plus sur ses intentions. Pour satisfaire la curiosité de son père, Jean a choisi dans le plan du sol un point O, puis il a défini un repère orthonormé direct (O, i, j, k) de l'espace tel que le repère (O, i, j) soit un repère du plan du plancher.

Dans le repère (O, i, j), Jean a choisi F(32 ; 0) et F(32 ; 0) et a tracé l'ensemble (Γ) des points M tels que MF+MF=5. Jean explique que dans le repère (O, i, j, k), les coordonnées du point S seront des entiers naturels.

Tâche :

Tu es invité (e) à résoudre les problèmes suivants en vue de te faire une idée plus précise du projet de Jean.

Problème 1

1. a) Justifie que (Γ) est une ellipse.
 
b) Précise le centre et l'excentricité de (Γ).
 
c) Détermine une équation de (Γ) dans le repère (O, i, j).
 
2. a) Précise les coordonnées des sommets de (Γ).
 
b) Trace (Γ).
 
c) Explique comment Jean a pu tracer (Γ) sur le plancher.

Problème 2

Jean a expliqué que deux faces de la pyramide représentant la toiture de la paillote sont contenues dans les plans (P1)  et  (P2) d'équations respectives : x+2y+2z16=0  et  11x+9y2z19=0 dans le repère (O, i, j, k).
 
3. a) Démontre que (P1)  et  (P1) sont sécants suivant une droite (Δ).
 
b) Démontre que si M(x ; y ; z) est un point de (Δ) alors : 12x+11y=35.
 
c) Résoudre dans Z2 l'équation 12x+11y=35 d'inconnus (x ; y).
 
d) Détermine les points de (Δ) dont toutes les trois coordonnées sont entiers relatifs.
 
4. a) Détermine les coordonnées du point S.
 
b) Calcule du point S au plan du plancher.

Problème 3

La figure ci-dessous représente une partie du motif de la décoration que propose Jean pour le mur de la clôture.

Il l'a obtenu en représentant dans un repère orthonormé (Unité 2cm) quelques courbes de la famille de courbes (Ck) représentatives des fonctions :
fk : RRxx+1ke2x1+ke2x


5. a) Justifie que l'ensemble de définition de fk est R.
 
b) Détermine les limites de fk aux voisinages de et +.
 
6. a) Justifie que les fonctions fk sont solutions de l'équation différentielle : y=(yx)2.
 
b) Justifie que les fonctions dérivées fk des fonctions fk s'annulent pour un seul nombre xk que tu préciseras.
 
c) Détermine le sens de variation de fk.
 
d) Dresse le tableau de variation de fk.
 
7. Soit Ak le point de (Ck) d'abscisse xk.
 
a) Précise les coordonnées de Ak.
 
b) Justifie que tous les points Ak appartiennent tous à une même droite.
 
8. a) Démontre que pour tout nombre réel x :
 
i. fk(x)=x1+21+ke2x
 
ii. fk(x)=x+12ke2x1+ke2x
 
b) Démontre que les droites (Δ1) et (Δ2) d'équations respectives y=x+1 et y=x1 sont des asymptotes aux (Ck).
 
c) Étudie la position relative des (Ck) par rapport aux droites (Δ1) et (Δ2).
 
9. a) Détermine la valeur de k pour laquelle (Ck) passe par l'origine du repère.
 
b) Trace les courbes (C14), (C1) et (C3) dans le même repère.
 
10. Jean propose de compléter son motif en traçant les courbes (Γk) d'équations : x=fk(y1).
 
a) Justifie que les fonctions fk sont des bijections.
 
b) Soit f1k les bijections réciproques des fk. 
 
Étudie la dérivabilité de f1k.
 
c) Démontre que les courbes (Γk) sont les images des courbes (Ck) par une isométrie plane s.
 
d) Caractérise s.
 

Ajouter un commentaire

Plain text

  • Aucune balise HTML autorisée.
  • Les adresses de pages web et de courriels sont transformées en liens automatiquement.