Bac Maths C et E, Benin 2014

 

Après son admission à la retraite, monsieur KOTO, précédemment professeur de mathématiques, a été désigné pour être le nouveau chef de sa collectivité. Comme il est de coutume, le nouveau chef doit se faire confectionner une tenue spéciale pour l'intronisation. C'est ainsi que Koto a décidé de se confectionner une tenue qui reflète sa profession. Afin de garder secrète les spécificités de la tenue, Koto confie à son fils Koffi, élève en terminale C, des informations codées à décrypter au couturier chargé de la confection de
la tenue. C'est ainsi qu'il a été retenu que le couturier devra disposer de deux types $T_{1}$ et $T_{2}$ de perles. Les perles du type $T_{1}$ seront réparties sur la trace d'une ligne courbe $(\Gamma)$ et celles du type $T_{2}$ sur une autre ligne courbe $(\Gamma').$

Le nombre $a$ de perle du type $T_{1}$ et le nombre $b$ de perle du type $T_{2}$ vérifient la relation : $b=6a^{4}+3a^{2}+4a+1$ avec $a\geq2.$ Pour coder cette relation, Koto recommande à Koffi de mémoriser suivant les valeurs de l'entier $a$, l'écriture de $b$ dans base $a.$ Enfin, Koffi a été informé que a est aussi la plus petite valeur de l’entier n tel que le nombre complexe $\left(1+\mathrm{e}^{\mathrm{i}\dfrac{\pi}{5}}\right)^{n}$ soit imaginaire pur. Une fois chez le couturier, Koffi veut lui expliquer le travail à faire.

Tu es invité(e) à aider Koffi dans sa mission en résolvant les trois problèmes.

1. Précise les différentes expressions de $b$ que Koffi a utilisée pour mémoriser la relation considérée $($Tu donneras suivant les valeurs de $a$, l'écriture de $b$ dans la base $a).$

2. a) Justifie que : $1+\mathrm{e}^{\mathrm{i}\dfrac{\pi}{5}}=\left(2\cos\dfrac{\pi}{10}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\dfrac{\pi}{10}}$

b) Déduis-en le module et un argument de $1+\mathrm{e}^{\mathrm{i}\dfrac{\pi}{10}}$

c) Justifie que le nombre de perles du type $T_{1}$ est $5.$

3. Calcule le nombre de perles du type $T_{2}.$

La ligne $(\Gamma)$ est obtenue à partir d'un carré $ABCD$ du plan $(\mathcal{P})$ orienté tel que $\dfrac{\pi}{2}$ est une mesure de l'angle orienté $\left(\widehat{\overrightarrow{AB}\ ;\ \overrightarrow{AD}}\right)$ et $AB=1$ ; $s_{1}$ étant la réflexion d'axe $(AB)$, $r_{1}$ la rotation de centre $C$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$, $(\Gamma)$ est l'image par $r_{1}\circ s_{1}$ de l'ensemble $(\Gamma_{1})$ des points $M$ du plan $(\mathcal{P})$ tels que : $MA^{2}+4MB^{2}-MC^{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}MN^{2}$ où $N$ est l'image de $M$ par l'affinité orthogonale d'axe la droite $(AB)$ et de rapport $3.$

4. a) Construis le barycentre $E$ des points pondérés $(A\ ;\ 1)$, $(B\ ;\ 4)$ et $(C\ ;\ -1).$

b) Justifie que $EA^{2}+4EB^{2}-EC^{2}=\dfrac{1}{4}$

c) Justifie qu'un point $M$ appartient à $(\Gamma_{1})$ si et seulement si $\dfrac{ME}{MN}=\dfrac{1}{4}.$

d) Déduis-en la nature de $(\Gamma_{1}).$

5. Soit $s$ la réflexion d'axe $(CD).$

a) Détermine la droite $(\Delta)$ telle que : $r_{1}=s_{2}\circ s$ où $s_{2}$ est la réflexion d'axe $(\Delta).$

b) Justifie que : $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{AD}.$

c) Déduis-en la nature et les éléments caractéristiques de $r_{1}\circ s_{1}.$

6. a) Justifie que $(\Gamma)$ est une ellipse.

b) Précise les sommets de $(\Gamma).$

c) Construis $(\Gamma).$

La ligne $(\Gamma')$ est obtenue à l'aide de la courbe $(\Gamma_{2})$ dans le plan $(\mathcal{P})$ muni du repère orthonormé $(O\ ;\ \vec{i}\ ;\ \vec{j})$ ; la courbe $(\Gamma_{2})$ est la représentation graphique de la fonction $f$ de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ définie par : $f(x)=\dfrac{x}{x+\mathrm{e^{x}}}.$

7. a) Étudie les variations de la fonction $u$ de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ définie par $u(x)=\mathrm{e}^{x}+x$

b) Justifie que l'équation $x(x)=0$ admet une solution unique $\alpha.$

c) Justifie que $-1<\alpha<\dfrac{1}{2}$

d) Étudie le signe de $u(x)$ suivant les valeurs de $x.$

8. a) Étudie les variations de $f.$

b) Construis la courbe $(\Gamma')$ représentant la fonction $g$ de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ définie par :
$$g(x)+f(|x|)=0.$$