Bac Maths C et E, Burkina Fasso 2011

 

Le clavier d'un téléphone portable comporte dix touches numériques notées $0$, $1$, $2$, $\ldots$, $9.$

 

Ce téléphone est activé par une puce électronique dont le code $PIN$ de quatre chiffres deux à deux distincts, composés à partir du clavier, est imposé par l'opérateur de téléphonie mobile. Ce code secret peut-être par exemple $0425.$

 

Le propriétaire a oublié le code secret de son téléphone.

 

1) Quelle est la probabilité qu'il ouvre le téléphone par hasard au premier essai ?

 

2) Un matin, on constate que la touche $« 8 »$ est devenue défectueuse et ne s'affiche plus, de sorte que lors de la validation d'une combinaison contenant $« 8 »$, le téléphone émette un signal sonore.

 

Quelle est la probabilité que le téléphone émette un signal sonore ?

 

3) Le clavier a été réparé et la touche $« 8 »$ fonctionne maintenant à merveille.

 

a) Le propriétaire se rappelle que le code commence par un multiple non nul de $3.$

 

Quelle est la probabilité qu'il ouvre le téléphone au premier essai ?

 

b) On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à chaque combinaison testée par le propriétaire, donne de chiffres pairs non nuls contenus dans la combinaison.

 

Déterminer la loi de probabilité de $X$ puis calculer l'espérance mathématique $E(X)$, la variance mathématique $V(X)$ et l'écart-type $\sig(X)$ de $X$

Soit $r$ un réel positif et $\theta$ un réel appartenant à $]0\ ;\ \pi[.$ 

 

On considère la suite complexe $(z_{n})$ définie sur $\mathbb{N}$ par $z_{0}=r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ et pour tout entier $n$, $z_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(z_{n}+|z_{n}|\right)$

 

On pose : pour tout naturel $n$, $U_{n}=|z_{n}|$

 

1) a) Démontrer que la suite numérique $\left(U_{n}\right)$ de terme général Un est décroissante.

 

b) En déduire que la suite numérique $\left(U_{n}\right)$ est convergente.