Bac Maths C et E, Burkina Fasso 2016

 

Une urne contient sept boules numérotées de $1$ à $7.$ Les boules portant un numéro pair sont de couleur blanche : les boules portant un numéro impair sont de couleur noire.

 

1) On suppose que lorsqu'on que, tire une boule de l'urne, et si l'on désigne par $P_{k}$ la probabilité de tirer la boule numérotée $k$, alors on a : $P_{1}=P_{3}=P_{5}=\alpha$  et  $P_{2}=P_{4}=P_{6}=2\alpha.$

 

On tire une boule de l'urne. Quelle est la probabilité de tirer :

 

a) une boule blanche ?

 

b) une boule noire ?

 

c) On tire une boule de l'urne. On note sa couleur et on la remet dans l'urne puis on tire une deuxième fois une boule de l'urne. On réalise ainsi deux tirages successifs que suppose indépendants. Soit $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de boules blanches sorties au cours des deux tirages.

 

a) Quelle la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ ?

 

b) Calculer l'espérance mathématique $E(X)$ de $X.$

 

1) On tire simultanément deux boules de l'urne. On associe à cette épreuve un univers $\Omega$ dont les éventualités des paires de deux boules. On suppose que $n$ est le nombre de boules figurant dans une paire et $p$ la probabilité de l'événement réduit à cette paire, alors le rapport $\dfrac{p}{n+1}$ est le même pour toutes les éventualités de $\Omega.$

 

Calculer la probabilité l'événement : « tirer deux boules blanches ».

Les questions 1) et 2) sont indépendantes.

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct $(O\;,\ \vec{i}\;,⃗\ \vec{j}).$

 

1)  résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $z^{2}−(1+\mathrm{i})z+\mathrm{i}= 0$

 

2) Soit $\theta$ un réel tel que $0<\theta<\dfrac{\pi}{2}.$

 

On considère dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E)\ :\ z^{2}-2\mathrm{e}^{\mathrm{i\theta}}z\cos\theta+\mathrm{e}^{\mathrm{i2\theta}}=0$

 

a) Déterminer l'ensemble des points $B$ quand $\theta$ varie dans l'intervalle $\left]0\;,\ \dfrac{\pi}{2}\right[$ 

 

b) Déterminer l'affixe du point $C$ pour que le quadrilatère $OACB$ soit un losange.

 

c) Déterminer le(s) réel(s) $\theta$ pour que la mesure de l'aire du losange $OACB$ soit égale à $\pi.$

Le plan $(\mathcal{P})$ est rapporté à un repère orthonormal $(O\;,\ \vec{i}\;,⃗\ \vec{j}).$

 

On désigne par $\left(\mathcal{C_{m}}\right)$ la courbe d'équation : $y^{2}=mx^{2}-(m-1)mx^{2}−(m−1)x−3(3m+1)$, ou $m$ est paramètre réel.

Montrer que quel que soit le réel $m$, la courbe $\left(\mathcal{C_{m}}\right)$ passe par un point fixe $A$ dont on donnera les coordonnées.

 

2) On suppose que $m$ est non nul.

 

a) Montrer que $\left(\mathcal{C_{m}}\right)$ est une conique à centre dont le centre $I_{m}$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{m-1}{2m}\;,\ 0\right)$

 

b) Préciser suivant les valeurs de $m$, si $\left(\mathcal{C_{m}}\right)$ est une ellipse ou une hyperbole.