Bac Maths C et E, Burkina Fasso 2019

 

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$ 

 

$M(t)$ est un point mobile de coordonnées $x(t)\ ;\ y(t)$ définies par :

$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x(t)&=&\dfrac{1}{2}\cos(2t)-\cos t\\\\ y(t)&=&\sin t\quad ;\ (t\in\mathbb{R}) \end{array}\right.$$

$(\mathcal{C})$ est la courbe décrite par la trajectoire de $M(t).$

 

1) a) Montrer que les fonctions $x\ :\ t\mapsto x(t)\ $ et $\ y\ :\ t\mapsto y(t)$ sont périodiques de période $T$ que l'on précisera.

 

b) Que peut dire positions des points $M(t)\ $ et $\ M(t+T)\ ?$

 

c)Calculer $x(-t)\ $ et $\ y(-t)$ et en déduire les positions des points $M(-t)$ et $M(t).$

 

d) Justifier que l'on peut réduire le domaine d'étude de $[0\ ;\ \pi].$

 

2) Soit la courbe $(\mathcal{C'})$ définit par : 

$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x(t)&=&\dfrac{1}{2}\cos(2t)-\cos t\\\\ y(t)&=&\sin t\quad ;\ t\in[0\ ;\ \pi] \end{array}\right.$$

a) Comment obtient-on $(\mathcal{C})$ à partir de $(\mathcal{C'})\ ?$

 

b) Calculer $x'(t)\ $ et $\ y'(t)$ et dresser le tableau de variation de $x\ $ et $\ y$

 

c) Déterminer les coordonnées des points en lesquels la tangente est verticale

 

d) Déterminer les coordonnées des points en lesquels la tangente est horizontale

 

e) Tracer avec soin la courbe $(\mathcal{C'})$

 

3) Tracer la courbe $(\mathcal{C}).$

 

On donne : $\sqrt{3}=1.7$

Soit $\theta\in\left[0\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right]$

 

1) a) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation :
$$z^{2}+(2\sin\theta)z+1=0\quad (\mathrm{e_{0}})$$

b) Déterminer le module et un argument de chacune des solutions de $(\mathrm{e_{0}}).$

 

2) On considère l'équation différentielle :
$$y''+(2\sin\theta)y'+y=0\quad (\mathrm{e_{1}})$$

a) On pose $y_{0}$ $(x=ax+b)$ avec $a\ $ et $\ b$ des nombres réels.

 

Déterminer les nombres réels $a\ $ et $\ b$ tels que $y_{0}$ soit solution de $(\mathrm{e_{1}}).$

 

b) Montrer qu'une fonction y est solution de $(\mathrm{e_{1}})$ si et seulement si $y-y_{0}$ d'une équation différentielle homogène du second ordre que l'on résoudra

 

3) Déterminer toutes les solutions de $(\mathrm{e_{1}}).$

A tout naturel $n$ non nul, on associe la fonction $f_{n}$ définie sur $\left]-\dfrac{1}{2}\ ;\ +\infty\right[$ par :
$$f_{n}(x)=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^{n}\ln\left(x+\dfrac{1}{2}\right)$$

On désigne par $\left(\mathcal{C_{n}}\right)$ la courbe représentative de $f_{n}$ dans le repère orthonormal $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ ; unité graphique : $2\,cm$ ; on notera $f'_{n}$ la dérivée de $f_{n}.$

 

1) Soit $g_{n}$ la fonction définie sur $\left]-\dfrac{1}{2}\ ;\ +\infty\right[$ par :
$$g_{n}(x)=n\ln\left(x+\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{2x-1}{2x+1}$$

a) Étudier les variations de la fonction $g_{n}$

 

b) Calculer $g_{n}\left(\dfrac{1}{2}\right)$ et déterminer le signe de $g_{n}$ sur $\left]-\dfrac{1}{2}\ ;\ +\infty\right[$

 

2) a) Pour tout $x\in\left]-\dfrac{1}{2}\ ;\ +\infty\right[$ ; montrer que :

 

(i) $f'_{1}=g_{1}(x)$

 

(ii) $f'_{n}(x)=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\cdot g_{n}(x).$

 

b) On suppose que $n$ est impair, étudier les variations de $f_{n}$ et dresser son tableau de variation

 

c) On suppose que $n$ est pair, étudier les variations de $f_{n}$ et dresser son tableau de variation

 

3) On note $T$ la translation du plan de vecteur $\dfrac{-1}{z}\vec{i}.$

 

On note $\left(E_{n}\right)$ l'image de $\left(\mathcal{C_{n}}\right)$ par la translation $T.$

 

Déterminer une équation cartésienne de $\left(E_{n}\right)$

 

4) a) Étudier les positions relatives de $\left(\mathcal{C_{1}}\right)\ $ et $\ \left(\mathcal{C_{2}}\right)$

 

b) Tracer la courbe $\left(\mathcal{C_{1}}\right)\ $ et $\ \left(\mathcal{C_{2}}\right)$ sur une même figure

On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie par :
$$v_{n}=\int_{\dfrac{1}{2}}^{\dfrac{3}{2}}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^{n}\ln\left(x+\dfrac{1}{2}\right)\mathrm{d}x$$
1) Montrer que pour tout $n\geq 1\;,\ 0\leq v_{n}\leq\dfrac{\ln 2}{n+1}.$

En déduire la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$

2) A l'aide d'une intégration par parties, montrer que $$v_{n}=\dfrac{\ln 2}{n+1}-\dfrac{2^{-n}}{n+1}\int_{\dfrac{1}{2}}^{\dfrac{3}{2}}\dfrac{(2x-1)^{n+1}}{2x+1}\mathrm{d}x$$ pour tout $n\in\mathbb{N^{\ast}}$

3) On pose pour tout $n\geq 1\ $ et $\ \dfrac{1}{2}\leq x\leq\dfrac{3}{2}$,
$$S_{n}(x)=1-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)+\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\ldots+(-1)^{n}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^{n}$$
a) Montrer que : $S_{n}(x)=\dfrac{2}{2n+1}+\left(\dfrac{-1}{2}\right)^{n}\dfrac{(2x-1)^{n+1}}{2x+1}$

b) Déduire que :
$$v_{n}=\dfrac{\ln 2}{n+1}-\dfrac{(-1)^{n-1}}{n+1}\left[\ln 2-1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\ldots+\dfrac{(-1)^{n-1}}{n+1}\right]$$
On donne : $\ln 2=0.69\;;\ ln 3=1.1\;;\ ln 5=1.61.$