Bac Maths C, Gabon 2022

 
Exercice 1 : Questions à choix multiples (5 points)
 
Pour chacune des questions, une seule des quatre propositions est exacte. 
 
Vous indiquerez sur votre copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
 
Exemple :
 
Question 1 Réponse A
 
Une bonne réponse rapporte 1pt, une mauvaise fait perdre 0.5point et l'absence de réponse ne rapporte et ne fait perdre aucun point.
 
Si le total des points est négatif, la note à cet exercice est ramenée à zéro.
 
1. Soit (E) l'équation différentielle y"+ω2y=0
 
Les solutions de cette équation sont de la forme :
\begin{array}{|l|l|l|l|} \hline \text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\tyext{Réponse D}\\ (A\cos\omega x&(Ax+B)\mathrm{e^ {\omega x}}&A\cos\omega x+B\sin\omega x (Ax+B)\mathrm{e^{-\omega x}}\\ \hline \end{array}
 
2. Chez l'homme l'angine peut être provoquée soit par une bactérie, soit par un virus.
 
On admet qu'une personne malade ne peut être à la fois porteur du virus et de la bactérie et que l'angine est bactérienne dans 20\% des cas.
 
Sur un échantillon de n\ (n\geq 2) hommes la probabilité d'obtenir au moins une personne atteinte de l'angine dû à une bactérie est :
\begin{array}{|l|l|l|l|} \hline \text{Réponse A}&\{text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réonse D}\\ \hline \left(\dfrac{4}{5}\right)^{n}&1-\left(\dfrac{4}{5}\right)^{n}&1-\left(\dfrac{1 {5}\right)^{n}&\text{Aucune réponse}\\ & & &\text{n'est juste}\\ \hline \end{array}
 
3. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé \left(O\;,\ \vec{u}\ ;\ \vec{v}\right).
 
On considère les points A et B d'affixes respectives -1+2\mathrm{i} et \mathrm{i}.
 
L'ensemble des points M d'affixe Z tels que : 
$$\left|\mathrm{i}\overline{Z}-2+\mathrm{i}\right|=\left|z-\mathrm{i}\right|$ est :
\begin{array}{|l|l|l|l|} \hline \text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D}\\ \hline \text{un cercle de diamètre}&\{la médiatrice du}&\text{Aucune réponse n'est}&\text{Une sphère de}&\\ [AB]&\text{segment }[AB]&\text{juste}&\text{diamètre }[AB]\\ \hline \end{array}
 
 
4. L'intégrale \int_{\mathrm{e^{2}}}^{\mathrm{e^{3}}}\left(\dfrac{\ln x-1}{x\ln x}\right)\mathrm{d}x est égale à :
\begin{array}{|l|l|l|l|} \hline \text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D}\\ \hline 1-\ln 3+\ln 2&-1+\ln 3+\ln 2&1-\ln 3-\ln 2&-1-\ln 3+\ln 2\\ \hline \end{array}
 
S. Soient g et h deux rotations de centres respectifs A et B d'angles respectifs \theta et -\theta avec \theta\neq 0. C est le point du plan tel que h^{-1}(A)=C. La composée h\circ g est :
$$\begin{array}{|l|l|l|l|} \hline \text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D}\\ \hline \text{Une symètrie de}&\text{Un translation de}&\text{Un translation de}&\text{Un anti déplacemnt}\\
\text{centre }C&\text{vecteur }\overrightarrow{AC}&\text{vecteur }\overrightarrow{CA&\\ \hline \end{array}$$
 
Exercice 2 : Isométries de l'espace 
 
Dans l'espace  muni d'un repère orthonormé \left(O\;,\ \vec{i}\ ;\ \vec{j}\ ;\ \vec{k}\right), on considère les points.
 
E(2\ ;\ 1\ ;\ 1), A\left(-\dfrac{4}{3}\ ;\ \dfrac{13}{3}\ ;\ -\dfrac{7}{3}\right) et l'application f de l'espace (\varepsilon) dans (\varepsilon) d'expression analytique :
\left\lbrace\begin{array}{lcl} 3x'&=&x+2y-2z-6\\ 3y'&=&2x+y+2z+6\\ 3z'&=&-2x+2y+z-6 \end{array}\right.
 
1. Déterminer f(A).
 
2. Soit M(x\ ;\ y;\ z) un point de l'espace et M'(x'\ ;\ y' ;\ z) son image par f.
 
a) Démontrer que : \overrightarrow{MM'}=-\dfrac{2}{3}(x-y+z+3)\vec{u} avec \vec{u}=\vec{i}-\vec{j}+\vec{k}.
 
b) Démontrer que l'ensemble (\pi) des points invariants par f est le plan d'équation :
x-y+z+3=0.
 
c) Justifier que la droite (MM') est orthogonale à (\pi) ;
 
d) Démontrer que le milieu K du segment [MM'] appartient au plan (\pi) ;
 
e) En déduire la nature de f.
 
3. Soit (\mathcal{D}) la droite passant par E et dirigée par le vecteur \vec{u}.
 
a) Démontrer qu'une représentation paramétrique de  (\mathcal{D}) est :
\left\lbrace\begin{array}{lcl} x&=&2+t\\ y&=&1-t\quad (t\in\mathbb{R})\ ;\\ z&=&1+t \end{array}\right.
 
b) Justifier que la droite  (\mathcal{D}) est orthogonale au plan (\pi) ;
 
c) Déterminer les coordonnées du point k intersection de  (\mathcal{D}) et (\pi).
 
4. Soit S_{(\mathcal{D})} le demi-tour d'axe  (\mathcal{D}).
 
a) Déterminer l'expression analytique de S_{(\mathcal{D})} ;
 
b) Déterminer la nature de S_{(\mathcal{D})}\circ f, puis montrer que : S_{(\mathcal{D})}\circ f(A)=E.
 
Exercice : Arithmétique-Divisibilité par 4 et 17 des termes d'une suite
 
Soit \left(u_{n}\right)n\in\mathbb{N} une suite de nombres entiers naturels définie par :
\left\lbrace\begin{array}{lcl} u_{0}&=&0\\ u_{n+1}&=&17+3u_{n} \end{array}\right.
 
1. a) Calculer u_{1} ,u_{2}, u_{3} et u_{4} ;
 
b) Que peut-on conjecturer quant à la divisibilité par 4 et 17 des termes de cette suite ?
 
2. a) Démontrer que pour tout entier naturel n : u_{2n+1}\equiv\;u_{n}[4] ;
 
b) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n : u_{2n}\equiv\;0[4] ;
 
c) En déduire que pour tout entier naturel n : u_{2n+1}\equiv\;1[4].
 
3. On considère la suite \left(v_{n}\right) définie sur \mathbb{N} par : v_{n}=u_{n}+\dfrac{17}{2}.
 
a) Démontrer que la suite \left(v_{n}\right) est géométrique dont on précisera la raison et le premier terme ;
 
b) En déduire que pour tout entier naturel n : 2u_{n}=17\left(3^{n}-1\right).
 
c) En utilisant le théorème de Gauss, montrer que pour tout entier naturel n :
u_{n}\equiv\;0[17].
 
4. Conclure sur la divisibilité par 4 et 17 des termes de la suite \left(u_{n}\right).
 
Exercice 4 : Étude d'une famille de fonctions - Calcul intégral 
 
Soit n un entier naturel non nul.
 
On considère la fonction f, définie sur \mathbb{R} par : f_{n}(x)=1+x\mathrm{e}^{-nx+1}.
 
\left(\mathcal{C_{n}}\right) est sa courbe représentative dans le repère orthonormé (O\;,\ \overrightarrow{I}\ ;\ \overrightarrow{J}).
 
1. Calculer les limites de f_{n} aux bornes de son ensemble de définition. 
 
Si possible, Interpréter graphiquement les résultats.
 
2. On note f_{n}^{'} la fonction dérivée de f_{n}.
 
a) Montrer que pour tout réel x : f_{n}^{'}=(1-nx)\mathrm{e}^{-nx+1} ;
 
b) Calculer f_{n}\left(\dfrac{1}{n}\right), puis dresser le tableau de variation de f_{n}.
 
3. a) Démontrer que l'équation f_{n}(x)=0 admet une unique solution  sur \mathbb{R} ;
 
b) En déduire le signe de f_{n} sur \mathbb{R}.
 
4. a) Démontrer que toutes les courbes \left(\mathcal{C_{n}}\right) passent par un point commun A dont on précisera les coordonnées ;
 
b) Déterminer une équation de la tangente (\mathcal{T}) à \left(\mathcal{C_{n}}\right) en A.
 
5. Construire \left(\mathcal{C_{1}}\right), \left(\mathcal{C_{1}}\right) et (\mathcal{T}).
 
6. On pose pour tout entier naturel non nul n : W_{n}=\int_{0}^{1}f_{n}(x)\mathrm{d}x.
 
a) Démontrer que pour tout entier naturel non nul n : 1\leq W_{n}\leq 1+\dfrac{\mathrm{e}}{2} ;
 
b) Démontrer que la suite \left(W_{n}\right) est décroissante ;
 
c) Déduire alors la convergence de la suite \left(W_{n}\right) ;
 
d) A l'aide d'une intégration par partie, démontrer que pour tout entier naturel non nul n :
W_{n}=-\dfrac{\mathrm{e}^{-n+1}}{n^{2}}(n+1)+\dfrac{\mathrm{e}}{n^{2}}+1\ ;
 
e) En déduire la limite de la suite \left(W_{n}\right).
 

Ajouter un commentaire

Plain text

  • Aucune balise HTML autorisée.
  • Les adresses de pages web et de courriels sont transformées en liens automatiquement.