Bac Maths D, Benin 2016

Plaisirs partagés d'une retraite bien préparée

En vue de garantir une retraite paisible à ses clients fonctionnaires, IDEALBANK offre à ces derniers un service d'épargne consistant à ouvrir un compte et à y faire annuellement de nouveaux versements pendant au moins dix ans, sans aucun retrait durant cette période.

Le taux d'intérêt appliqué par cette banque et les différents montants déposés chaque année dans le compte sont tels que si $U_{n}$ et $U_{n+1}$ représentent, en millions de francs, les montants dans le compte respectivement au $1^{er}$ janvier de la $n^{e}$ et au $1^{er}$ janvier de la $(n+1)^{e}$ année, on a : $U_{n+1}=\dfrac{6\left(U_{n}+3\right)}{2U_{n}+15}.$ On définit ainsi une suite numérique $\left(U_{n}\right)n\in\mathbb{N}.$

Monsieur OWOLAGBA fonctionnaire devant être admis à la retraite le $1^{er}$ janvier $2016$ a souscrit à ce service d'épargne de IDEALBANK par ouverture d'un compte avec un premier dépôt de $3$ millions de francs $CFA$ effectué le $1^{er}$ janvier $2005.$

Lors de la cérémonie de réception organisée en son honneur le $1^{er}$ janvier $2016$, monsieur OWOLAGBA a reçu de ses collègues et amis plusieurs cadeaux dont un objet en verre et une tenue traditionnelle sur laquelle a été réalisée une décoration artistique suivant une configuration très particulière. Monsieur OWOLAGBA veut se faire une idée de son avoir dans le compte au $1^{er}$ janvier $2016.$

Par ailleurs, son frère Tony élève en classe terminale scientifique, impressionné par les cadeaux, se propose d'étudier certaines propriétés de l'objet en verre et de reproduire la configuration représentée sur la tenue traditionnelle.

Tâche : Tu es invité $(e)$ à répondre aux préoccupations de monsieur OWOLAGBA et de Tony en résolvant les trois problèmes ci-après.

1. Justifie que $U_{1}=3$ puis calcule $U_{2}$ et $U_{3}.$

2. Démontre que la suite $\left(V_{n}\right)_{n}\in\mathbb{N}$ définie pour tout entier naturel non nul $n$ par :

$V_{n}=\dfrac{U_{n}−6}{2U_{n}+3}$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{4}{9}$ et dont tu préciseras le premier terme.

3. a) Exprime $V_{n}$, puis $U_{n}$ en fonction de $n.$

b) Calcule la limite de la suite $\left(U_{n}\right)_{n}\in\mathbb{N}$

4. Détermine, en fonction de francs $CFA$, le montant du compte au $1^{er}$ janvier $2016$

Le cadeau en verre reçu par monsieur OWOLAGBA est modélisé par un cube $OABCDEFG$ comme l'indique la figure ci-dessous :

fig138

$I$, $J$, $K$ et $L$ sont les milieux respectifs des arêtes $[DE]$, $[EF]$, $[FG]$ et $[GD].$

$H$ est le centre du carré $OABC.$ La partie matérialisée par la pyramide $HIJKL$ est creuse et porte sur la face $HJK$ une décoration.

L'isobarycentre $\mathcal{P}$ des points $H$, $I$ et $L$ se projette orthogonalement sur le plan $(HJK)$ en un point $N$ considéré comme un point très important de la pyramide dans l'Égypte de l'ère des pharaons.

On munit l'espace du repère orthonormé direct $(O\;,\ \overrightarrow{OA}\;,\ \overrightarrow{OC}\;,\ \overrightarrow{OD}).$

5. Détermine les coordonnées des points $H$, $I$, $J$, $K$ et $L.$

6. a) Détermine la nature du quadrilatère $IJKL.$

b) Calcule l'aire du triangle $HJK$

c) Calcule le volume de la partie creuse.

Déduis-en le volume de la partie restante du cube.

7. a) Justifie que l'on a : $P\left(\dfrac{1}{3}\;,\ \dfrac{1}{3}\;,\ \dfrac{2}{3}\right).$

b) Démontre qu'une équation cartésienne du plan $(HJK)$ est $2x+2y−z−2=0.$
 
c) Détermine une représentation paramétrique de la droite passant par $P$ et perpendiculaire au plan $HJK$

d) Détermine les coordonnées du point $N.$

La configuration représentée sur la tenue traditionnelle est modélisée par une portion de la courbe $(\Gamma)$ dans un repère orthonormé $(O\ ;\ \vec{i} \;,\ \vec{j})$ de la fonction $f$ de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ définie par $f(x)=\ln|g(x)|$ où $g$ est la solution de l'équation différentielle $(E)\ :\ y''-3y'+2y=0$ qui vérifie $g(0)=−1$ et $g'(0)=0.$

8. a) Résous l'équation différentielle $(E).$

b) Justifie que pour tout nombre réel $x$, $g(x)=\mathrm{e}^{2x}−2^{\mathrm{e}x}$

c) Étudie le signe de $g(x)$ pour tout $x\in\mathbb{R}.$

9. Soit $\mathcal{D}$ l'ensemble de définition de $f.$

a) Justifie que $\mathcal{D}=]−\infty\ ;\ \ln2[\cup ]\ln 2\ ;\ +\infty[$

b) Étudie les limites de $f$ aux bornes de $\mathcal{D}.$

10. Démontre que l'on a :

a) pour tout $x$ élément de $]−\infty\ ;\ \ln 2[$, $f(x)=x+\ln 2+\ln\left(1-\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{x}\right)$

b) pour tout $x$ élément de $]\ln 2\ ;\ +\infty[$, $f(x)=2x+\ln\left(1−2\mathrm{e}^{−x}\right).$

11. Justifie que la courbe $(\Gamma)$ admet trois asymptotes que tu préciseras.

12. a) Étudie le sens de variations de $f.$

b) Dresse le tableau des variations de $f.$

c) Trace la courbe $(\Gamma).$