Bac Maths D, Burkina 2010
Exercice 1
Soit (z)=z3−(1−i)2+z−1+i, z∈C.
1. Démontrer que (z) admet deux racines imaginaires pures
2. Résoudre l'équation (z)=0, puis donner les solutions sous forme exponentielle.
3. Le plan est muni d'un repère (O ; →u, →v).
On note a=−i ; b=i et c=1−i.
a) Faire une figure que l'on complètera au fur et à mesure.
On notera A, B et C les points d'affixes respectives a, b et c.
b) Calculer a−ba−c, puis préciser la nature du triangle ABC.
c) Soit C l'image du point D par la translation de vecteur →AB.
Calculer l'affixe du point D.
d) E est l'image du point D par la rotation de centre O et d'angle π2.
Déterminer l'affixe du point E
e) Pour quelles valeurs de n, cn est-il un réel.
Exercice 2
Une urne contient dix boules : quatre rouges et six blanches.
1. On extrait simultanément trois boules de l'urne.
Soit X la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de boules rouges extraites.
Déterminer la loi de probabilité de X et calculer l'espérance E(X) de X.
2. On répète n fois l'épreuve précédentes ; après chaque tirage de trois boules rouges.
a) On suppose n=5.
Calculer la probabilité que l'on obtienne exactement deux fois un tirage de trois boules rouges.
b) On prend maintenant n=2.
On note S l'évènement « le nombre total de boules rouges obtenues après les deux tirages est 3 ».
Calculer la probabilité de S.
Exercice 3
Le plan est muni d'un repère orthonormal (O →i, →j), ‖→i‖=‖→j‖=2cm.
Partie A
On considère les fonctions f et g définies sur R par : f(x)=(x+1)2e−xe(x)=e−x.
1. a) Calculer la limite de f en +∞.
Que peut-on en déduire pour la courbe (Cf) ?
Calculer la limite de f en −∞.
b) Calculer f′(x) et étudier son signe.
c) En déduire le sens de variation de f et dresser son tableau de variations.
2. a) Calculer la limite de g en −∞ et en +∞.
b) Calculer g′(x), étudier le sens de variation de g et dresser son tableau de variations.
3. a) Étudier le signe de f(x)−g(x) et en déduire la position relative des courbes (Cf) et (Cg).
b) Montrer que les tangentes en A(0, 1) aux courbes (Cf) et (Cg) sont perpendiculaires.
4. Tracer (Cf) et (Cg) et leurs tangentes en A.
Partie B
1. Déterminer les réels a, b et c tels que la fonction qui à t associe (at2+bt+c)−t soit une primitive de la fonction qui à t associe (t2+2t)e−t
2. Soit α un réel positif
a) Calculer (α) en cm2 de la région du plan comprise entre (Cf), (Cg), l'axe des ordonnées et la droite d'équation x=α.
(On pourra utiliser le résultat précédent)
b) Calculer limx→+∞A(α)
3. Calculer en cm2 de la région du plan comprise entre (Cf), (Cg), droite d'équation x=−2 et l'axe des ordonnées.
Partie C
Soit (Un) la suite définie sur N∖0 par (Un)=ln[f(n)], où ln désigne la fonction logarithme népérien.
1. Justifier que la suite (Un) est décroissante.
2. On désigne par (Sn) la somme des n premiers termes de la suite (Un) : Sn=U1+U2+…+Un$
a) Montrer que :(Un)=−n+ln(n+1).
b) Démontrer que : Sn=2ln[ln(n+1)!]−n(n+1)2
On donne e−1=0.4.
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