Bac Maths D, Burkina 2010

Exercice 1

Soit $(z)=z^{3}-(1-\mathrm{i})^{2}+z−1+\mathrm{i}\;,\ z\in\mathbb{C}.$  

1. Démontrer que $(z)$ admet deux racines imaginaires pures  

2. Résoudre l'équation $(z)=0$, puis donner les solutions sous forme exponentielle.  

3. Le plan est muni d'un repère $(O\ ;\ \vec{u}\;,\ \vec{v}).$

On note $a=-\mathrm{i}$ ; $b=\mathrm{i}$ et $c=1-\mathrm{i}.$  

a) Faire une figure que l'on complètera au fur et à mesure.

On notera $A$, $B$ et $C$ les points d'affixes respectives $a$, $b$ et $c.$  

b) Calculer $\dfrac{a-b}{a-c}$, puis préciser la nature du triangle $ABC.$  

c) Soit $C$ l'image du point $D$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}.$  

Calculer l'affixe du point $D.$

d) $E$ est l'image du point $D$ par la rotation de centre $O$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}.$  

Déterminer l'affixe du  point $E$  

e) Pour quelles valeurs de $n\;,\ c^{n}$ est-il un réel.

Exercice 2

Une urne contient dix boules : quatre rouges et six blanches.  

1. On extrait simultanément trois boules de l'urne.

Soit $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de boules rouges extraites.

Déterminer la loi de probabilité de $X$ et calculer l'espérance $E(X)$ de $X.$  

2. On répète $n$ fois l'épreuve précédentes ; après chaque tirage de trois boules rouges.      

a) On suppose $n=5.$

Calculer la probabilité que l'on obtienne exactement deux fois un tirage de trois boules rouges.    

b) On prend maintenant $n=2.$
 
On note S l'évènement « le nombre total de boules rouges obtenues après les deux tirages est $3$ ».

Calculer la probabilité de $S.$

Exercice 3 

Le plan est muni d'un repère orthonormal $(O\ \; \vec{i}\;,\ \vec{j})\;,\ \|\vec{i}\|=\|\vec{j}\|=2\,cm.$  

Partie A  

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par : $$f(x)=(x+1)^{2}\mathrm{e}^{−x}\quad\text{e}\quad(x)=\mathrm{e}-x.$$  

1. a) Calculer la limite de $f$ en $+\infty.$

Que peut-on en déduire pour la courbe $\left(\mathcal{C_{f}}\right)$ ?

Calculer la limite de $f$ en $−\infty.$  

b) Calculer $f'(x)$ et étudier son signe.  

c) En déduire le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variations.

2. a) Calculer la limite de $g$ en $−\infty$ et en $+\infty.$  

b) Calculer $g'(x)$, étudier le sens de variation de $g$ et dresser son tableau de variations.  

3. a) Étudier le signe de $f(x)-g(x)$ et en déduire la position relative des courbes $\left(\mathcal{C_{f}}\right)$ et $\left(\mathcal{C_{g}}\right).$  

b) Montrer que les tangentes en $A(0\;,\ 1)$ aux courbes $\left(\mathcal{C_{f}}\right)$ et $\left(\mathcal{C_{g}}\right)$ sont perpendiculaires.  

4. Tracer $(\mathcal{C}_{f})$ et $(\mathcal{C}_{g})$ et leurs tangentes en $A.$    

Partie B 

1. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que la fonction qui à $t$ associe $(at^{2}+bt+c)^{−t}$ soit une primitive de la fonction qui à $t$ associe $(t^{2}+2t)\mathrm{e}^{−t}$  

2. Soit $\alpha$ un réel positif      

a) Calculer $(\alpha)$ en $cm^{2}$ de la région du plan comprise entre $\left(\mathcal{C_{f}}\right)\;,\ \left(\mathcal{C_{g}}\right)$, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=\alpha.$

(On pourra utiliser le résultat précédent)      

b) Calculer $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\mathcal{A}(\alpha)$

3. Calculer en $cm^{2}$ de la région du plan comprise entre $\left(\mathcal{C_{f}}\right)\;,\ \left(\mathcal{C_{g}}\right)$, droite d'équation $x=−2$ et l'axe des ordonnées.   

Partie C

Soit $\left(U_{n}\right)$ la suite définie sur $\mathbb{N}\setminus{0}$ par $\left(U_{n}\right)=\ln[f(n)]$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.  

1. Justifier que la suite $\left(U_{n}\right)$ est décroissante.

2. On désigne par $\left(S_{n}\right)$ la somme des $n$ premiers termes de la suite $\left(U_{n}\right)$ : $S_{n}=U_{1}+U_{2}+\ldots+U_{n}$$

a) Montrer que :$$\left(U_{n}\right)=-n+\ln(n+1).$$  

b) Démontrer que : $$S_{n}=2\ln[\ln(n+1)!]-\dfrac{n(n+1)}{2}$$

On donne $\mathrm{e}^{−1}=0.4.$