Bac Maths D, Burkina 2013
Exercice 1
Soient (1, 2, 3) ; (3,0, 3) et (3, 2, 1).
1. Calculer AB ; BC et →AB⋅→AC.
2. Soit D le point tel que →AC=→BC.
Trouver les coordonnées de D.
Quelle est la nature du quadrilatère ABDC ?
En déduire que →AC⊥→BC.
3. Déterminer la distance séparant le point O au plan du quadrilatère ABDC ;
4. Soit I le milieu de [AC].
Calculer OI, en déduire que I est le projeté orthogonale de O sur le plan (ABDC).
5. Démontrer que les plans (OAC) et (OBD) sont orthogonaux.
6. Déterminer l'aire du quadrilatère ABDC.
7. Déterminer le volume de la pyramide de sommet O et de base, le quadrilatère ABDC.
Exercice 2
1. Calculer U3 ; U4 et en déduire que la suite (Un) n'est ni arithmétique, ni géométrique.
2. a) Montrer que (Un) est minorée par 1
b) Montrer que (Un) est décroissante
c) En déduire que (Un) converge et déterminer sa limite.
3. On pose Vn=Un+1Un−1
a) Montrer que (Vn) est une suite arithmétique dont on précisera le premier terme et la raison (On pourra exprimer Vn et Vn−1 en fonction de Un−1)
b) Exprimer, puis Un en fonction de n.
c) Déterminer la limite de (Un).
Exercice 3 Problème
{f(x)=xe1x,si x<0f(x)=xln(1+x),si x≥0}
On désigne par (C) la courbe de f dans un repère orthonormal (O ; →i, →j), unité graphique 2cm.
Partie A
Déterminer le sens de variation de g sur [0 ; +∞[ et en déduire son signe sur [0 ; +∞[.
2. a) Étudier la continuité de f en 0
b) Étudier la dérivabilité de f en 0
3. a) Calculer f′(x) suivant les valeurs de x et vérifier que pour tout x≥0, f′(x)=g(x)
b) Montrer que pour tout x<0, on a f′(x)>0
c) Montrer que pour tout x≥0, on a f′(x)>0
d) Calculer les limites de f en −∞ et en +∞
e) Dresser le tableau de variation de f
4. a) Calculer limx→+∞f(x)x puis interpréter graphiquement le résultat
b) Calculer limx→−∞[x(e1x−1)].
(On pourra poser X=1x)
c) Montrer que la droite (D) d'équation : y=x+1 est une asymptote oblique à (C) en −∞
d) Préciser la position de (C) par rapport à (D) pour x<0.
(On admettra que (e1x−1)≤1 pour x<0)
4. Tracer la droite (Δ) : y=x ; (D) : y=x+1 et (C) dans le repère orthonormal (O ; →i, →j), unité graphique 2cm.
Partie B
b) Déduire au moyen d'une intégration par parties le calcul de ∫e−10f(x)dx.
2. Calculer en cm2, l'aire A de la partie du plan limitée par (Δ) : y=x ; (C) et les droites D d'équations x=0 et x=e−1.
3. Soit h la restriction de f à l'intervalle [0 ; +∞[
a) Montrer que h réalise une bijection de [0 ; +∞[ sur un intervalle I que l'on précisera.
b) Construire la courbe (C′) de h−1 dans le même repère (O ; →i, →j)
4. Quelle est l'aire (A′) en cm2 de la boucle délimitée par (C) et (C′) ?
Partie C
{x(t)=1ln(−t)avec t∈]−1 ; 0[y(t)=1ln(−t)}
1. Déterminer une équation cartésienne de (Γ)
2. Comment obtient-on (Γ) à partir de la courbe (C) de f
3. Construire (Γ) en pointillées dans le repère (O ; →i, →j)
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