Bac Maths D, Burkina 2013

Exercice 1 

L'espace est muni d'un repère orthonormal direct (O ; i, j, k).

Soient (1, 2, 3) ; (3,0, 3) et (3, 2, 1).
 
1. Calculer AB ; BC et ABAC.

2. Soit D le point tel que AC=BC.

Trouver les coordonnées de D.

Quelle est la nature du quadrilatère ABDC ?

En déduire que ACBC.

3. Déterminer la distance séparant le point O au plan du quadrilatère ABDC ;  

4. Soit I le milieu de [AC].

Calculer OI, en déduire que I est le projeté orthogonale de O sur le plan (ABDC).  

5. Démontrer que les plans (OAC) et (OBD) sont orthogonaux.  

6. Déterminer l'aire du quadrilatère ABDC.  

7. Déterminer le volume de la pyramide de sommet O et de base, le quadrilatère ABDC.

Exercice 2 

On considère la suite de terme générale Un définie par : Un=3Un+11Un1+1 ; n3 et par son premier terme U2=3.  

1. Calculer U3 ; U4 et en déduire que la suite (Un) n'est ni arithmétique, ni géométrique.  

2. a) Montrer que (Un) est minorée par 1  

b) Montrer que (Un) est décroissante

c) En déduire que (Un) converge et déterminer sa limite.

3. On pose Vn=Un+1Un1   

a) Montrer que (Vn) est une suite arithmétique dont on précisera le premier terme et la raison (On pourra exprimer Vn et Vn1 en fonction de Un1)  

b) Exprimer, puis Un en fonction de n.  

c) Déterminer la limite de (Un).

Exercice 3 Problème

On considère la fonction f définie sur R par :
{f(x)=xe1x,si x<0f(x)=xln(1+x),si x0}

On désigne par (C) la courbe de f dans un repère orthonormal (O ; i, j), unité graphique 2cm.  

Partie A   

1. Soit g la fonction définie par :f(x)=ln(1+x)+xx+1si x0.

Déterminer le sens de variation de g sur [0 ; +[ et en déduire son signe sur [0 ; +[.

2. a) Étudier la continuité de f en 0        

b) Étudier la dérivabilité de f en 0  

3. a) Calculer f(x) suivant les valeurs de x et vérifier que pour tout x0, f(x)=g(x)    

b) Montrer que pour tout x<0, on a f(x)>0    

c) Montrer que pour tout x0, on a f(x)>0    

d) Calculer les limites de f en et en +    

e) Dresser le tableau de variation de f  

4. a) Calculer limx+f(x)x puis interpréter graphiquement le résultat  
         
b) Calculer limx[x(e1x1)].

(On pourra poser X=1x)

c) Montrer que la droite (D) d'équation : y=x+1 est une asymptote oblique à (C) en            

d) Préciser la position de (C) par rapport à (D) pour x<0.

(On admettra que (e1x1)1 pour x<0)         

4. Tracer la droite (Δ) : y=x ; (D) : y=x+1 et (C) dans le repère orthonormal (O ; i, j), unité graphique 2cm.

Partie B

1. a) Déterminer trois réels a, b et c tels que pour tout x de R+, on a :x2x+1=ax+b+cx+1
 
b) Déduire au moyen d'une intégration par parties le calcul de e10f(x)dx.  
     
2. Calculer en cm2, l'aire A de la partie du plan limitée par (Δ) : y=x ; (C) et les droites D d'équations x=0 et x=e1.  

3. Soit h la restriction de f à l'intervalle [0 ; +[
     
a) Montrer que h réalise une bijection de [0 ; +[ sur un intervalle I que l'on précisera.  

b) Construire la courbe (C) de h1 dans le même repère (O ; i, j)  

4. Quelle est l'aire (A) en cm2 de la boucle délimitée par (C) et (C) ?  

Partie C

On considère la courbe (Γ) dont une représentation paramétrique est :  
{x(t)=1ln(t)avec t]1 ; 0[y(t)=1ln(t)}

1. Déterminer une équation cartésienne de (Γ)  

2. Comment obtient-on (Γ) à partir de la courbe (C) de f  

3. Construire (Γ) en pointillées dans le repère (O ; i, j)

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