Bac Maths D, Burkina 2014
Exercice 1
On considère l'application f définie sur C∗ par (z)=−1z.
F est l'application du plan P privé de O dans lui-même qui à tout point M d'affixe z, associe le point M′ d'affixe z′=(z).
1. On pose z=reiθ, r∈R∗+ et θ∈R.
Exprimer le module et un argument de (z) en fonction de r et θ.
2. On pose z=x+iy et Z=X+iY où Z est l'affixe du milieu I de [MM′] ; x, y, X, Y sont des réels.
a) Exprimer X et Y en fonction de x et y
b) Déterminer et représenter l'ensemble (ε) des points M tels que I appartienne à l'axe (O ; →u)
c) Déterminer et représenter l'ensemble (F) des points M tels que I appartienne à l'axe (O ; →v)
3. On suppose |Z|=1.
On pose donc z=eiθ, θ∈R
a) Calculer Z en fonction de θ
b) Caractériser géométriquement la restriction de F au cercle de centre O et de rayon 1.
Exercice 2
Au bout de 10 minutes, la température du corps est 50∘C.
Sa température à la date t exprimée en minutes, est solution de l'équation différentielle :
dθ(t)dtdt=−(θ(t)−θ1) où k est une constante réelle.
On pose Φ(t)=θ(t)−θ1.
1. a) Quelle est l'équation différentielle vérifiée par Φ ?
b) Déterminer Φ.
c) En déduire (t) en fonction de k.
d) Déterminer la constante k puis, en déduire l'expression définitive de (t).
2. a) Au bout de combien de minutes la température du corps diminuera - t – elle de moitié ?
b) Quelle sera la température du corps au bout d'une heure ?
On donne :
ln2≃0.70 ;
ln34≅−0.29.
Exercice 3 Problème
{f(x)=(1−x)ex,si x≤1f(x)=√x2+2x−3,si x>1}
On note (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal direct R=(O ; →i ; →j) ; unité graphique : 2cm.
Partie A
b) f est – elle dérivable en x0=1 ?
Interpréter géométriquement le résultat obtenu.
2. a) Calculer les limites de f en −∞ et en +∞
b) Soit f′ la dérivée de f.
Calculer f′(x) et étudier le signe de f′.
c) Dresser le tableau de variation de f.
3. Montrer que la droite (Δ) d'équation y=x+1 est asymptote à (C) en +∞.
4. Déterminer une équation de la tangente (T) à (C) au point d'abscisse −1.
(On donne : 1e≃0.36)
5. Tracer (Δ), (T) et (C).
6. a) Montrer que la restriction de f à ]1 ; +∞[ réalise une bijection de ]1 ; +∞[ sur un intervalle J que l'on précisera.
b) On note (C′) la courbe représentative de cette bijection réciproque dans le repère R=(O ; →i ; →j).
Construire (C′).
Partie B
a) A l'aide d'une intégration par parties, calculer (α)=∫0αxexdx
b) On désigne par Dα le domaine plan délimité par (C), (Ox) et les droites d'équations x=α et x=0.
Calculer, en 3cm2., la valeur de l'aire (α) du domaine Dα.
c) Calculer lim
2. a) Déterminer les réels a, b et c tels que la fonction F définie sur \mathbb{R} par
(x)=(ax^{2}+bx+c)^{2x} soit une primitive sur \mathbb{R} de x\longmapsto (x^{2}−2x+1)\mathrm{e}^{2x}.
b) Calculer, en cm^{3}., le volume (\alpha) du solide (\alpha) engendré par la rotation complète de \mathcal{D}_\alpha} autour de l'axe (Ox).
Partie C
\left\lbrace\begin{array}{lcl} x(t)&=&\dfrac{2}{\cos t}-1\;,\quad t\in\left]0\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right[\\\\ y(t)&=&2\tan t \end{array}\right\rbrace
1. Donner une équation cartésienne de (\Gamma)
2. En déduire que (\Gamma) est une partie de (\mathcal{C}) que l'on précisera.
Ajouter un commentaire