Bac Maths D, Burkina 2014

Le plan complexe $\mathcal{P}$ est rapporté au repère orthonormal $(O\;,\  \vec{i}\;,\ \vec{j})$ unité : $2\,cm.$

On considère l'application $f$ définie sur $\mathcal{C}^{\ast}$ par $(z)=\dfrac{-1}{z}.$

$F$ est l'application du plan $\mathcal{P}$ privé de $O$ dans lui-même qui à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M′$ d'affixe $z′=(z).$  

1. On pose $z=r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\;,\ r\in\mathbb{R}^{\ast +}$ et $\theta\in\mathbb{R}.$

Exprimer le module et un argument de $(z)$ en fonction de $r$ et $\theta.$  

2. On pose $z=x+\mathrm{i}y$ et $Z=X+\mathrm{i}Y$ où $Z$ est l'affixe du milieu $I$ de $[MM']$ ; $x$, $y$, $X$, $Y$ sont des réels.   

a) Exprimer $X$ et $Y$ en fonction de $x$ et $y$   

b) Déterminer et représenter l'ensemble $(\varepsilon)$ des points $M$ tels que $I$ appartienne à l'axe $(O\ ;\ \vec{u})$   

c) Déterminer et représenter l'ensemble $(\mathcal{F})$ des points $M$ tels que $I$ appartienne à l'axe $(O\ ;\ \vec{v})$

3. On suppose $|Z|=1.$  

On pose donc $z=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\;,\ \theta\in\mathbb{R}$

a) Calculer $Z$ en fonction de $\theta$  

b) Caractériser géométriquement la restriction de $F$ au cercle de centre $O$ et de rayon $1.$   

A l'instant $t=0$, un corps à température $\theta_{0}=60^{\circ}C$ est placé dans l'aire ambiant à la température $\theta_{1}=20^{\circ}C.$

Au bout de $10$ minutes, la température du corps est $50^{\circ}C.$

Sa température à la date $t$ exprimée en minutes, est solution de l'équation différentielle :  

$\dfrac{\mathrm{d}\theta(t)}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t=-\left(\theta(t)-\theta_{1}\right)$ où $k$ est une constante réelle.  

On pose $\Phi(t)=\theta(t)−\theta_{1}.$  

1. a) Quelle est l'équation différentielle vérifiée par $\Phi$ ?  

b) Déterminer $\Phi.$  

c) En déduire $(t)$ en fonction de $k.$

d) Déterminer la constante $k$ puis, en déduire l'expression définitive de $(t).$  

2. a) Au bout de combien de minutes la température du corps diminuera - t – elle de moitié ?      

b) Quelle sera la température du corps au bout d'une heure ?

On donne :

$\ln 2\simeq 0.70$ ;

$\ln\dfrac{3}{4}\cong −0.29.$

On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$\left\lbrace\begin{array}{llll} f(x)&=&(1−x)\mathrm{e}^{x}\;,&\text{si }x\leq 1\\\\  f(x)&=&\sqrt{x^{2}+2x-3}\;,&\text{si }x>1 \end{array}\right\rbrace$$

On note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal direct $\mathcal{R}=(O\ ;\ \vec{i}\ ;\ \vec{j})$ ; unité graphique : $2\,cm.$ 

1. a) Étudier la continuité de $f$ en $x_{0}=1$   

b) $f$ est – elle dérivable en $x_{0}=1$ ?

Interpréter géométriquement le résultat obtenu.  

2. a) Calculer les limites de $f$ en $−\infty$ et en $+\infty$     

b) Soit $f'$ la dérivée de $f.$

Calculer $f'(x)$ et étudier le signe de $f'.$       

c) Dresser le tableau de variation de $f.$  

3. Montrer que la droite $(\Delta)$ d'équation $y=x+1$ est asymptote à $(\mathcal{C})$ en $+\infty.$  

4. Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $−1.$

$\left(\text{On donne : }\dfrac{1}{\mathrm{e}}\simeq 0.36\right)$  

5. Tracer $(\Delta)$, $(T)$ et $(\mathcal{C}).$  

6. a) Montrer que la restriction de $f$ à $]1\ ;\ +\infty[$ réalise une bijection de $]1\ ;\ +\infty[$ sur un intervalle $J$ que l'on précisera.      

b) On note $(\mathcal{C}')$ la courbe représentative de cette bijection réciproque dans le repère $\mathcal{R}=(O\ ;\ \vec{i}\ ;\ \vec{j}).$

Construire $(\mathcal{C'}).$  

1. Soit $\alpha$ un réel strictement négatif ;
 
a) A l'aide d'une intégration par parties, calculer $$(\alpha)=\int_{\alpha}^{0}x\mathrm{e}^{x}\mathrm{d}x$$

b) On désigne par $\mathcal{D}\alpha$ le domaine plan délimité par $(\mathcal{C})$, $(Ox)$ et les droites d'équations  $x=\alpha$ et $x=0.$

Calculer, en $3cm^{2}.$, la valeur de l'aire $(\alpha)$ du domaine $\mathcal{D}_\alpha.$  

c) Calculer $\lim\limits_{\alpha\rightarrow +\infty}\mathcal{A}(\alpha)$

2. a) Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par          

$(x)=(ax^{2}+bx+c)^{2x}$ soit une primitive sur $\mathbb{R}$ de $x\longmapsto (x^{2}−2x+1)\mathrm{e}^{2x}.$  

b) Calculer, en  $cm^{3}.$, le volume $(\alpha)$ du solide $(\alpha)$ engendré par la rotation complète de $\mathcal{D}_\alpha}$ autour de l'axe $(Ox).$   

On considère la courbe $(\Gamma)$ dont une représentation paramétrique est :   
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x(t)&=&\dfrac{2}{\cos t}-1\;,\quad t\in\left]0\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right[\\\\  y(t)&=&2\tan t \end{array}\right\rbrace$$                                                                                                

1. Donner une équation cartésienne de $(\Gamma)$
 
2. En déduire que $(\Gamma)$ est une partie de $(\mathcal{C})$ que l'on précisera.