Bac Maths D, Burkina 2014

Exercice 1 

Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal (O, i, j) unité : 2cm.

On considère l'application f définie sur C par (z)=1z.

F est l'application du plan P privé de O dans lui-même qui à tout point M d'affixe z, associe le point M d'affixe z=(z).  

1. On pose z=reiθ, rR+ et θR.

Exprimer le module et un argument de (z) en fonction de r et θ.  

2. On pose z=x+iy et Z=X+iYZ est l'affixe du milieu I de [MM] ; x, y, X, Y sont des réels.   

a) Exprimer X et Y en fonction de x et y   

b) Déterminer et représenter l'ensemble (ε) des points M tels que I appartienne à l'axe (O ; u)   

c) Déterminer et représenter l'ensemble (F) des points M tels que I appartienne à l'axe (O ; v)

3. On suppose |Z|=1.  

On pose donc z=eiθ, θR

a) Calculer Z en fonction de θ  

b) Caractériser géométriquement la restriction de F au cercle de centre O et de rayon 1.   

Exercice 2  

A l'instant t=0, un corps à température θ0=60C est placé dans l'aire ambiant à la température θ1=20C.

Au bout de 10 minutes, la température du corps est 50C.

Sa température à la date t exprimée en minutes, est solution de l'équation différentielle :  

dθ(t)dtdt=(θ(t)θ1)k est une constante réelle.  

On pose Φ(t)=θ(t)θ1.  

1. a) Quelle est l'équation différentielle vérifiée par Φ ?  

b) Déterminer Φ.  

c) En déduire (t) en fonction de k.

d) Déterminer la constante k puis, en déduire l'expression définitive de (t).  

2. a) Au bout de combien de minutes la température du corps diminuera - t – elle de moitié ?      

b) Quelle sera la température du corps au bout d'une heure ?

On donne :

ln20.70 ;

ln340.29.

Exercice 3 Problème

On considère la fonction numérique f définie sur R par :
{f(x)=(1x)ex,si x1f(x)=x2+2x3,si x>1}

On note (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal direct R=(O ; i ; j) ; unité graphique : 2cm. 

Partie A 

1. a) Étudier la continuité de f en x0=1   

b) f est – elle dérivable en x0=1 ?

Interpréter géométriquement le résultat obtenu.  

2. a) Calculer les limites de f en et en +     

b) Soit f la dérivée de f.

Calculer f(x) et étudier le signe de f.       

c) Dresser le tableau de variation de f.  

3. Montrer que la droite (Δ) d'équation y=x+1 est asymptote à (C) en +.  

4. Déterminer une équation de la tangente (T) à (C) au point d'abscisse 1.

(On donne : 1e0.36)  

5. Tracer (Δ), (T) et (C).  

6. a) Montrer que la restriction de f à ]1 ; +[ réalise une bijection de ]1 ; +[ sur un intervalle J que l'on précisera.      

b) On note (C) la courbe représentative de cette bijection réciproque dans le repère R=(O ; i ; j).

Construire (C).  

Partie B 

1. Soit α un réel strictement négatif ;
 
a) A l'aide d'une intégration par parties, calculer (α)=0αxexdx

b) On désigne par Dα le domaine plan délimité par (C), (Ox) et les droites d'équations  x=α et x=0.

Calculer, en 3cm2., la valeur de l'aire (α) du domaine Dα.  

c) Calculer lim

2. a) Déterminer les réels a, b et c tels que la fonction F définie sur \mathbb{R} par          

(x)=(ax^{2}+bx+c)^{2x} soit une primitive sur \mathbb{R} de x\longmapsto (x^{2}−2x+1)\mathrm{e}^{2x}.  

b) Calculer, en  cm^{3}., le volume (\alpha) du solide (\alpha) engendré par la rotation complète de \mathcal{D}_\alpha} autour de l'axe (Ox).   

Partie C

On considère la courbe (\Gamma) dont une représentation paramétrique est :   
\left\lbrace\begin{array}{lcl} x(t)&=&\dfrac{2}{\cos t}-1\;,\quad t\in\left]0\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right[\\\\  y(t)&=&2\tan t \end{array}\right\rbrace                                                                                                

1. Donner une équation cartésienne de (\Gamma)
 
2. En déduire que (\Gamma) est une partie de (\mathcal{C}) que l'on précisera.

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