Bac Maths D, Burkina 2015

Exercice 1

Soit le polynôme : (z)=z3(1+2i)23z+2i1   

1. Montrer que le polynôme (z) admet une racine réelle z0 que l'on déterminera.

2. Déterminer trois nombres complexe a, b et c tel que : (z)=(zz0)(az2+bz+c)  

3. Résoudre dans (C), l'équation (z)=0  

4. Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé (O ; u, v) (unité 2cm), on désigne par A, B et C les points d'affixes respectives i, 2+i et 1.  

a) Placer les points A, B et C
 
b) Soit D l'image de A par la translation de vecteur BC.

Calculer l'affixe de D.  

c) Calculer le nombre Z=zAzAzB.

Déterminer le module et un argument de Z.  

En déduire la nature du triangle.

Exercice 2

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal direct (0 ; i, j, k), on donne les points

A(2 ; 1 ; 2) ; B(6 ; 5 ; 3) ; C(1 ; 3 ; 10) et le vecteur u(4, 7,4)  

1. a) Calculer ABAC et ABAC   

b) Interpréter géométriquement ces résultats  

c) Calculer les distances AB et AC  

d) En déduire la nature exacte du triangle ABC  

2. Démontrer que les vecteurs u et ABAC sont colinéaires.  

3. Montrer que ABAC=9u et en déduire l'aire du triangle ABC en fonction de la norme de u.  

4. Soit (1 ; 1 ; 1) un point de l'espace.  

a) Les points A, B, C, D sont - ils coplanaires ?  

b) Calculer (D ; (ABC)) et en déduire le volume V, en unité de volume, de la pyramide de sommet D et de base le triangle ABC.

Exercice 3 Problème

Partie A   

On considère la fonction g définie sur R par (x)=(1x)1.

1. Étudier les variations de g   

2. Calculer g(0).

En déduire que pour tout x0, (x)<0.  

Partie B

Soit la fonction f définie sur R par :
{f(x)=xex1+2,si x0f(0)=3}
 
On désigne par (C) la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère orthonormé (O, i, j) (unité graphique 2cm).

On admettra que f est dérivable en 0 et que f(0)=12

1. a) Déterminer la limite de f en    
 
b) Établir que xex1=xex×11ex puis déterminer la limite de f en +
 
En déduire que (C) admet une asymptote horizontale en + dont on donnera l'équation.  
 
2. Montrer que la droite (D) d'équation y=x+2 est une asymptote oblique à la courbe (C) en
 
3. Calculer, pour tout x0, f(x) et montrer que f(x)=g(x)(ex1)2

4. a) Donner le sens de variation de f      
 
b) Dresser le tableau de variation de f  
 
5. Soit (T) la tangente à (C) au point d'abscisse nulle, écrire l'équation de (T)  
 
6. Tracer (D), (T) et (C).  

Partie C 

Soit h la fonction définie sur R par h(x)=f(x)x  

1. Montrer que l'équation h(x)=0 admet une solution unique α et que α]2 ; 2.5[

2. On pose I=[2 ; 2.5]       
 
a) Démontrer que pour tout xI, on a : (x)20et(ex1)240       
 
b) En déduire que si xI,12f(x)0.  
 
3. Soit (Un) la suite définie sur N par U0=2 et Un+1=(Un).       
 
a) Montrer par récurrence que pour tout nN,on a UnI.       
 
b) Montrer que pour tout nN, |Un+1α|12|Unα|et que|Unα|(12)1      
 
c) En déduire que (Un) converge vers α.       
 
d) Déterminer le plus petit entier n0 tel que pour tout nn0, on ait :|Unα|103
 
On donne :    

ln20.69 ;

ln102.3 ;   

e27.39 ;  

e2.512.18 ;

1e211e210.15 ;

1e2.510.09 ;

(e21)240.83 ;

(e2.51)2125.

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