Bac Maths D, Burkina 2015

Soit le polynôme : $(z)=z^{3}−(1+2\mathrm{i})^{2}−3z+2\mathrm{i}−1$   

1. Montrer que le polynôme $(z)$ admet une racine réelle $z^{0}$ que l'on déterminera.

2. Déterminer trois nombres complexe $a$, $b$ et $c$ tel que : $$(z)=(z-z_{0})(az^{2}+bz+c)$$  

3. Résoudre dans $(\mathcal{C})$, l'équation $(z)=0$  

4. Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé $(O\ ;\ \vec{u}\;,\ \vec{v})$ $($unité $2\,cm)$, on désigne par $A$, $B$ et $C$ les points d'affixes respectives $\mathrm{i}$, $2+\mathrm{i}$ et $−1.$  

a) Placer les points $A$, $B$ et $C$
 
b) Soit $D$ l'image de $A$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{BC}.$

Calculer l'affixe de $D.$  

c) Calculer le nombre $Z=\dfrac{z_{A}}{z_{A}-z_{B}}.$

Déterminer le module et un argument de $Z.$  

En déduire la nature du triangle.

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal direct $(0\ ;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\;,\ \vec{k})$, on donne les points

$A(−2\ ;\ −1\ ;\ 2)$ ; $B(6\ ;\ −5\ ;\ 3)$ ; $C(−1\ ;\ 3\ ;\ 10)$ et le vecteur $\vec{u}(−4\;,\ −7\;, 4)$  

1. a) Calculer $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$   

b) Interpréter géométriquement ces résultats  

c) Calculer les distances $AB$ et $AC$  

d) En déduire la nature exacte du triangle $ABC$  

2. Démontrer que les vecteurs $\vec{u}$ et $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.  

3. Montrer que $\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\|=9\|\vec{u}\|$ et en déduire l'aire du triangle $ABC$ en fonction de la norme de $\vec{u}.$  

4. Soit $(1\ ;\ 1\ ;\ 1)$ un point de l'espace.  

a) Les points $A$, $B$, $C$, $D$ sont - ils coplanaires ?  

b) Calculer $(D\ ;\ (ABC))$ et en déduire le volume $\mathcal{V}$, en unité de volume, de la pyramide de sommet $D$ et de base le triangle $ABC.$

On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $(x)=(1-x)-1.$

1. Étudier les variations de $g$   

2. Calculer $g(0).$

En déduire que pour tout $x\neq 0\;,\ (x)<0.$  

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} f(x)&=&\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x-1}}+2\;,\quad\text{si }x\neq 0\\ f(0)&=&3 \end{array}\right\rbrace$$
 
On désigne par $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ $($unité graphique $2\,cm).$

On admettra que $f$ est dérivable en $0$ et que $f'(0)=-\dfrac{1}{2}$

1. a) Déterminer la limite de $f$ en $−\infty$   
 
b) Établir que $\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}-1}=\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}\times\dfrac{1}{1-\mathrm{e}^{-x}}$ puis déterminer la limite de $f$ en $+\infty$
 
En déduire que $(\mathcal{C})$ admet une asymptote horizontale en $+\infty$ dont on donnera l'équation.  
 
2. Montrer que la droite $(D)$ d'équation $y=−x+2$ est une asymptote oblique à la courbe $(\mathcal{C})$ en $−\infty$
 
3. Calculer, pour tout $x\neq 0$, $f'(x)$ et montrer que $f'(x)=\dfrac{g(x)}{(\mathrm{e}^{x}−1)^{2}}$

4. a) Donner le sens de variation de $f$      
 
b) Dresser le tableau de variation de $f$  
 
5. Soit $(T)$ la tangente à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse nulle, écrire l'équation de $(T)$  
 
6. Tracer $(D)$, $(T)$ et $(C).$  

Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=f(x)-x$  

1. Montrer que l'équation $h(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ et que $\alpha\in ]2\ ;\ 2.5[$

2. On pose $I=[2\ ;\ 2.5]$       
 
a) Démontrer que pour tout $x\in I$, on a : $$(x)\geq -20\quad\text{et}\quad(\mathrm{e}^{x}−1)^{2}\geq 40$$       
 
b) En déduire que si $x\in I\;,\quad -12\leq f'(x)\leq 0.$  
 
3. Soit $\left(U_{n}\right)$ la suite définie sur $ \mathbb{N}$ par $U_{0}=2$ et $U_{n+1}=\left(U_{n}\right).$       
 
a) Montrer par récurrence que pour tout $n\in\mathbb{N}\;,\quad\text{on a }U_{n}\in I.$       
 
b) Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $$|U_{n+1}−\alpha|\leq 12|U_{n}−\alpha|\quad\text{et que}\quad|U_{n}−\alpha|\leq\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-1}$$      
 
c) En déduire que $\left(U_{n}\right)$ converge vers $\alpha.$       
 
d) Déterminer le plus petit entier $n_{0}$ tel que pour tout $n\geq n_{0}$, on ait :$$|U_{n}−\alpha|\leq 10^{−3}$$
 
On donne :    

$\ln 2\simeq 0.69$ ;

$\ln 10\simeq 2.3$ ;   

$\mathrm{e}^{2}\simeq 7.39$ ;  

$\mathrm{e}^{2.5}\simeq 12.18$ ;

$\dfrac{1}{\mathrm{e}^{2}−1}1\mathrm{e}^{2-1}\simeq 0.15$ ;

$\dfrac{1}{\mathrm{e}^{2.5}−1}\simeq 0.09$ ;

$\left(\mathrm{e}^{2}−1\right)^{2}\simeq 40.83$ ;

$\left(\mathrm{e}^{2.5}-1\right)^{2}\simeq 125.$