Bac Maths D, Burkina 2015
Exercice 1
1. Montrer que le polynôme (z) admet une racine réelle z0 que l'on déterminera.
2. Déterminer trois nombres complexe a, b et c tel que : (z)=(z−z0)(az2+bz+c)
3. Résoudre dans (C), l'équation (z)=0
4. Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé (O ; →u, →v) (unité 2cm), on désigne par A, B et C les points d'affixes respectives i, 2+i et −1.
a) Placer les points A, B et C
b) Soit D l'image de A par la translation de vecteur →BC.
Calculer l'affixe de D.
c) Calculer le nombre Z=zAzA−zB.
Déterminer le module et un argument de Z.
En déduire la nature du triangle.
Exercice 2
A(−2 ; −1 ; 2) ; B(6 ; −5 ; 3) ; C(−1 ; 3 ; 10) et le vecteur →u(−4, −7,4)
1. a) Calculer →AB∧→AC et →AB⋅→AC
b) Interpréter géométriquement ces résultats
c) Calculer les distances AB et AC
d) En déduire la nature exacte du triangle ABC
2. Démontrer que les vecteurs →u et →AB∧→AC sont colinéaires.
3. Montrer que ‖→AB∧→AC‖=9‖→u‖ et en déduire l'aire du triangle ABC en fonction de la norme de →u.
4. Soit (1 ; 1 ; 1) un point de l'espace.
a) Les points A, B, C, D sont - ils coplanaires ?
b) Calculer (D ; (ABC)) et en déduire le volume V, en unité de volume, de la pyramide de sommet D et de base le triangle ABC.
Exercice 3 Problème
Partie A
1. Étudier les variations de g
2. Calculer g(0).
En déduire que pour tout x≠0, (x)<0.
Partie B
{f(x)=xex−1+2,si x≠0f(0)=3}
On désigne par (C) la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère orthonormé (O, →i, →j) (unité graphique 2cm).
On admettra que f est dérivable en 0 et que f′(0)=−12
1. a) Déterminer la limite de f en −∞
b) Établir que xex−1=xex×11−e−x puis déterminer la limite de f en +∞
En déduire que (C) admet une asymptote horizontale en +∞ dont on donnera l'équation.
2. Montrer que la droite (D) d'équation y=−x+2 est une asymptote oblique à la courbe (C) en −∞
3. Calculer, pour tout x≠0, f′(x) et montrer que f′(x)=g(x)(ex−1)2
4. a) Donner le sens de variation de f
b) Dresser le tableau de variation de f
5. Soit (T) la tangente à (C) au point d'abscisse nulle, écrire l'équation de (T)
6. Tracer (D), (T) et (C).
Partie C
1. Montrer que l'équation h(x)=0 admet une solution unique α et que α∈]2 ; 2.5[
2. On pose I=[2 ; 2.5]
a) Démontrer que pour tout x∈I, on a : (x)≥−20et(ex−1)2≥40
b) En déduire que si x∈I,−12≤f′(x)≤0.
3. Soit (Un) la suite définie sur N par U0=2 et Un+1=(Un).
a) Montrer par récurrence que pour tout n∈N,on a Un∈I.
b) Montrer que pour tout n∈N, |Un+1−α|≤12|Un−α|et que|Un−α|≤(12)−1
c) En déduire que (Un) converge vers α.
d) Déterminer le plus petit entier n0 tel que pour tout n≥n0, on ait :|Un−α|≤10−3
On donne :
ln2≃0.69 ;
ln10≃2.3 ;
e2≃7.39 ;
e2.5≃12.18 ;
1e2−11e2−1≃0.15 ;
1e2.5−1≃0.09 ;
(e2−1)2≃40.83 ;
(e2.5−1)2≃125.
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