Bac Maths D, Burkina 2019

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct $(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v})$ unité graphique $1\,cm.$

Soit $P$ le polynôme définie sur $\mathbb{C}$ pour tout $z$ par : $$P(z)=z^{3}−3z^{2}+(3\mathrm{i}+3)z-6+2\mathrm{i}.$$

1. Calculer $P(-\mathrm{i})$ ; puis en déduire une factorisation de $P(z).$

2. a) Résoudre dans $\mathbb{C}$, l'équation $P(z)=0.$

b) Soient les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $z_{A}=-\mathrm{i}$ ; $z_{B}=2\mathrm{i}$ et $z_{C}=3-\mathrm{i}.$

Placer ces points dans le repère.

c) Calculer $\dfrac{z_{C}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}}$ ; puis interpréter  géométrique le module et un argument de ce quotient.

En déduire la nature du triangle $ABC.$

3. Soit $D$ l'image de $C$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$

a) Calculer l'affixe de point $D.$

b) Donner la nature exacte du quadrilatère $ABDC.$

Une urne contient cinq boules portant le numéro $2$, quatre boules portant  le numéro $3$ et trois boules portant le numéro $4.$

On tire simultanément trois boules de l'urne.  

On suppose que tous les tirages sont équiprobables.

1. Déterminer les probabilités des évènements suivants :

$A$ : « Tirer au moins une boule portant le numéro $3$ »

$B$ : « Tirer trois boules portant des numéros tous différents »

$C$ : « Tirer trois boules portant le même numéro »

$D$ : « Tirer trois boules dont exactement deux portent le même numéro »

2. Soit $X$ la variable aléatoire égale à la somme des numéros marqués sur les trois boules tirées.

a) Quelles sont les valeurs prises par $X$ ?

b) Déterminer la loi de probabilité de $X.$

c) Calculer l'espérance mathématique $E(X)$ de $X.$

3. On appelle un succès l'évènement $E$ : $«(X\geq 10)»$

a) Calculer la probabilité de $E.$

b) On répète trois fois l'expérience de manière indépendante.

Calculer la probabilité d'obtenir exactement deux succès.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$\left\lbrace\begin{array}{llll} f(x)&=&2−x+\ln(2x−3)&\text{si}\quad x\geq 2\\ f(x)&=&−x+1+\mathrm{e}^{x-2}&\text{si}\quad x<2 \end{array}\right\rbrace$$

On note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal $(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v})$ unité graphique $4\,cm.$

On notera $f'$ la dérivée de $f.$

1. Étudier la continuité de $f$ en $2.$

2. a) vérifier $\dfrac{f(x)}{x-2}=−1+2\dfrac{\ln[2(x-2)+1]}{2(x-2)}$ pour tout $x>2$

b) Étudier la dérivabilité de $f$ en $2.$

Interpréter géométriquement le résultat obtenu.

3. a) Calculer la limite de $f$ en $-\infty.$

b) Vérifier que pour tout $x\geq 2.$

On a : $$f(x)=2−x\left(1-\dfrac{2x-3}{x}\dfrac{\ln(2x-3}{2x-3}\right).$$

En déduire $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)\;,\quad \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}$

c) Calculer $\lim\limits_{x\to +\infty}[f(x)+x]$

Interpréter géométriquement le résultat obtenu.

4. Montrer que $(\mathbb{C})$ admet une asymptote oblique $(\Delta)$ au voisinage de $-\infty.$

5. a) Calculer  $f'(x)$ pour $x\in\mathbb{R}\setminus {2}$ puis étudier son signe.

b) En déduire le sens de variation de $f.$

c) Dresser le tableau de variation de $f.$

6. Tracer $(\mathcal{C})$, $(\Delta)$, la tangente et les demi-tangentes éventuelles.

1. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet deux solutions dont l'une est dans l'intervalle $I=⦋3\ ;\ 4⦌$ $($on notera $\alpha$ celle qui est dans $I).$

2. On considère la fonction $g$ définie sur $⦋2\ ;\ +\infty⦋$ par : $$g(x)=2+\ln(2x−3)$$

a) Vérifier que $g(\alpha)=\alpha.$

b) Montrer que :

(i) $g(x)\in I$, pour tout $x\in I.$

(ii) $|g'(x)|\leq\dfrac{2}{3}$ pour tout $x\in I.$

c) En déduire que : $|g'(x)−\alpha|\leq\dfrac{2}{3}|x−\alpha|$ pour tout $x\in I.$

Soit $\left(U_{n}\right)$ la suite définie par :

$U_{0}=3$ et $U_{n+1}=g\left(U_{n}\right)$ pour tout entier naturel $n.$

1. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $U_{n}\in ⦋3\ ;\ 4⦌$

2. En déduire que pour tout entier naturel $n$,

a) $|U_{n+1}−\alpha|\leq\dfrac{2}{3}|U_{n}−\alpha|$

b) $||U_{n}−\alpha|\leq\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}$

3. Étudier la convergence de la suite $\left(U_{n}\right)$

4. Déterminer le plus petit entier naturel $n_{0}$ tel que pour tout $n\geq n_{0}$ on ait $|U_{n}−\alpha|\leq 10^{−3}.$

Données numériques :

$\ln 2\cong 0.7$ ;

$\ln 3\cong 1.1$ ;

$\ln 5\cong 1.6$ ;

$\ln 10\cong 2.3$ ;

$\ln\dfrac{2}{3}\cong -0.4$ ;

$\mathrm{e}^{-1}=0.3$

et $\mathrm{e}^{−2}\cong 0.1.$