Bac Maths D, Côte d'Ivoire 2010

On considère dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E)\ :\ 4z^{3}−6\mathrm{i}\sqrt{3}z^{2}-3(3+\mathrm{i}\sqrt{3})z−4=0$

1. Détermine les racines carrées de $6+6\mathrm{i}\sqrt{3}$

2. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $2z^{2}−(1+3\mathrm{i}\sqrt{3})z−4=0$

3. a) Développer, réduire et ordonner $(2z+1)[2z^{2}−(1+3\mathrm{i}\sqrt{3})z−4]$

b) En déduire les solutions de $(E).$

4. Soit $z_{0}=−\dfrac{1}{2}$ ; $z_{1}=−\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$ ; $z^{2}=1+\sqrt{3}\mathrm{i}$

Exprimer chacun des nombres complexes $z_{0}$, $z_{1}$ et $z_{2}$ sous forme trigonométrique

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé $(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v})$ où l'unité est $1\,cm$, on considère les points $M_{0}$, $M_{1}$ et $M_{2}$ d'affixes respectives $−\dfrac{1}{2}$ ; $−\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$ et $1+\sqrt{3}\mathrm{i}.$

$\mathcal{S}$ est la similitude directe de centre $O$, d'angle $−\dfrac{\pi}{3}$ et de rapport $2.$

1. a) Déterminer l'écriture complexe de $\mathcal{S}.$

b) Justifier que $\mathcal{S}\left(M_{0}\right)=M_{1}$ et $\mathcal{S}\left(M_{1}\right)=M_{2}$

2. Soit $M_{n}$ un point du plan d'affixe $z_{n}.$

On pose pour tout nombre entier naturel $n$, $M_{n+1}=\mathcal{S}\left(M_{n}\right)$

Justifier que $z_{n+1}=(1−\sqrt{3}\mathrm{i})z_{n}$ où $z_{n+1}$ est l'affixe de $M_{n+1}.$

3. On considère la suite $U_{n}$ définie par pour tout entier naturel $n$ par $U_{n}=|z_{n}|$

a) Démontrer que $U_{n}$ est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme.

b) Justifier que la distance $OM_{12}=2048.$

On teste un médicament sur un ensemble d'individus ayant un taux de glycémie anormalement élevé.

Pour cela, $60\%$ des individus prennent le médicament, les autres recevant une substance neutre et l'on étudie à l'aide d'un test la baisse du taux de glycémie.

Chez les individus ayant pris le médicament, on constate une baisse de taux avec une probabilité de $0.8.$

On ne constate aucune baisse de ce taux pour $90%$ des personnes ayant reçu la substance neutre.

1. Calculer la probabilité d'avoir une baisse de taux de glycémie sachant qu'on a pris le médicament.

2. Démontrer que la probabilité d'avoir une baisse de taux de glycémie est $0.52.$

3. On soumet au test un individu pris au hasard.

Quelle est la probabilité qu'il ait pris le médicament sachant que l'on constate une baisse de taux de glycémie ?

4. On contrôle 5 individus au hasard.

a) Quelle est la probabilité d'avoir exactement deux personnes dont le taux de glycémie a baissé ?

b) Quelle est la probabilité d'avoir au moins un individu dont le taux de glycémie a baissé ?

5. On contrôle $n$ individus pris au hasard. $(n$ est un nombre entier non nul$)$

Déterminer $n$ pour que la probabilité d'avoir au moins un individu dont le taux de glycémie a baissé soit supérieure à $0.98.$

Soit la fonction $g$ dérivable sur $]0\ ;\ +\infty[$ et définie par : $g(x)=1−x\ln x.$

1. a) Justifier que $\forall x\in]0\ ;\ +\infty[\;,\ g'(x)=1+\ln x.$

b) Étudie les variations de $g$ puis dresser son tableau de variation.

$($On ne calculera pas les limites de $g).$

2. En déduire que $\forall x\in]0\ ;\ +\infty[\;,\ g(x)>0$

Soit $f$ la fonction définie sur $]0\ ;\ +\infty[$ par ∶
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} f(0)&=&0\\\\ f(x)&=&\dfrac{x}{1+x\ln x} \end{array}\right.$$

On note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O\;,\ I\;,\ J).$ $($Unité : $4\,cm)$

1. a) Étudier la continuité de $f$ en $O.$

b) Étudier la dérivabilité de $f$ en $O.$

c) Démontrer qu'une équation de la tangente $(\mathcal{T})$à la courbe $(\mathcal{C})$ au point $O$ est ∶ $y=x$

d) Démontrer que :

$(\mathcal{C})$ est au-dessus de $(\mathcal{T})$ sur $]0\ ; 1[$

$(\mathcal{C})$ est au-dessous de $(\mathcal{T})$ sur $]1\ ;\ +\infty[$

2. Démontrer que la droite $(OI)$ est une asymptote à $(\mathcal{C})$ en $+\infty$

3. a) On suppose que $f$ est dérivable sur $]0\ ;\ +\infty[[$

Démontrer que $\forall x\in]0\ ;\ +\infty[[\;,\ f'(x)=\dfrac{1−x}{(1+x\ln x)^{2}}$

b) En déduire les variations de $f$ et dresser son tableau de variation.

4. Construire la droite $(\mathcal{T})$ et la courbe $(\mathcal{C})$ dans le plan muni du repère $(O\;,\ I\;, \ J).$

1. a) Justifier que : $\forall x\in]0\ ;\ +\infty[\;,\ f(x)\leq 1$

b) Démontrer que : $\forall x\in[1\ ;\ \mathrm{e}]\;,\ 1−\dfrac{1}{1+x}\leq f(x)$

2. soit $\mathcal{A}$ l'aire en $cm^{2}$ de la partie du plan limitée par $(\mathcal{C})$, $(OI)$ et les droites d'équations $x=1$ et $x=\mathrm{e}.$

Démontrer que : $16(\mathrm{e}−1)+16\ln\left(\dfrac{2}{1+\mathrm{e}}\right)\leq\mathcal{A}\leq 16(\mathrm{e}−1).$