Bac Maths D, Côte d'Ivoire 2013

Dans le plan munit d'un repère direct $(O\;,\ I\;,\ J)$, on désigne par $K$, $A$ et $B$ les points d'affixes $z_{1}=2$ ; $z_{2}=4+2\mathrm{i}$ et $z_{3}=2+4\mathrm{i}.$

L'unité graphique est $2\,cm.$

1. a) Place les points $K$, $A$ et $B$

b) Déterminer la forme algébrique du nombre complexe $\dfrac{z_{3}−z_{2}}{z_{2}−z_{1}}$

2. On note $S$ la similitude directe de centre $K$ qui transforme $A$ en $B.$

a) Démontre que l'écriture de $S$ est $z'=(1+\mathrm{i})z-2\mathrm{i}$

b) Déterminer les affixes respectives des points $I'$ et $J'$, images respectives des points $I$ et $J$ puis placer $I'$ et $J'.$

3. Détermine le rapport et une mesure de l'angle orienté de la similitude directe $S.$

4. Soit $(\mathcal{C})$ le cercle de centre $\Omega(1\ ;\ 1)$ et de rayon $2.$

a) Trace $(\mathcal{C})$

b) Détermine le centre et le rayon de $(\mathcal{C'})$, image de $(\mathcal{C})$ par $S.$

c) Construire $(\mathcal{C'})$

5. a) Déterminer puis construire l'image par $S$ de la droite $(IJ)$ On pourra caractériser l'image par $S$ de la droite $(IJ)$ par deux de ses points

b) On désigne par $E$ le point d'intersection de $(\mathcal{C})$ de la droite $(IJ)$ d'abscisse négative.

Placer $E$ et l'image $E'$ de $E$ par $S.$

Justifie la position du point $E'.$

On considère la suite numérique $(u)$ définie par :

$u_{0}=\sqrt{2}$ et pour tout nombre entier naturel $n$, $u_{n+1}=2+\dfrac{1}{2}u_{n}$

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O\;,\ I\;,\ J).$

L'unité graphique est $2\,cm.$

1. Déterminer les valeurs exactes de $u_{1}$ et $u_{2}.$

2. Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{1}{2}x+2$ et de représentation graphique $(\mathcal{D}).$

a) Tracer $(\mathcal{D})$ et la droite $(\Delta)$ d'équation $y=x$

b) Placer $u_{0}$ sur l'axe $(OJ).$

c) A l'aide de $(\mathcal{D})$ et $(\Delta)$, placer les termes $u_{1}$,  $u_{2}$ et $u_{3}$ de la suite $(u)$ sur l'axe $(OI).$

3. a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $v_{n}\leq 4$

b) Démontrer que la suite $(u)$ est croissante.

c) En déduire que la suite $(u)$ est convergente.

4. On considère la suite $(v)$ définie par $v_{n}=u_{n}-4$, pour tout nombre entier naturel $n.$

Démontre que la suite $(v)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

5. On pose, pour tout nombre entier naturel $n.$

$T_{n}=v_{0}+v_{1}+\ldots+v_{n}$, la somme de $n+1$ premiers termes de la suite $(v)$

$S_{n}=u_{0}+u_{1}+\ldots+u_{n}$, la somme de $n+1$ premiers termes de la suite $(u)$

a) Déterminer une expression de $T_{n}$ en fonction de $n$

b) Justifier que $S_{n}=2(\sqrt{2}-4)\left(1-\dfrac{1}{2^{n+1)}}\right)+4(n+1)$

c) Déterminer la limite de $S_{n}$

Dans le plan munit d'un repère direct $(O\;,\ I\;,\ J)$

L'unité graphique est $2\,cm.$

On considère la fonction $f$ dérivable et définie sur $]−\infty\ ;\ 1[$ par :
$$f(x)=x^{2}-1+\ln(1-x).$$

On note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f.$

1. a) Calcule $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}f(x).$

b) Calcule $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ puis donner une interprétation graphique du résultat.

c) Calculer la limite de $f$ à gauche en $1$ puis donner une interprétation graphique du résultat.

2. a) Pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $]−\infty\ ;\ 1[$, calculer $f'(x)$

b) Démontrer que $f$ est strictement décroissante sur $]−\infty\ ;\ 1[$

c) Dresser le tableau de variation de $f$

3. a) Démontre que l'équation $(E)\ :\ x\in]−\infty\ ;\ 1[$, $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$

b) Justifier que $−0.7<\alpha<−0.6$

4. a) Démontre qu'une équation de la tangente $(\mathcal{T})$ et $(\mathcal{C})$ au point d'abscisses $0$ est : $y=−x−1$

b) On donne le tableau de valeurs suivant :
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x&-2&-1.5&-1&-0.75&-0.5&-0.25&0.5&0.75\\ \hline \text{Arrondi d'ordre }1\text{ de }f(x)&4.1&2.2&0.7&0.1&-0.3&-0.7&-1.2&-1.8\\ \hline \end{array}$$

Tracer $(\mathcal{T})$ et $(\mathcal{C})$

On pourra faire la figure dans la partie du plan caractérisé par :
$$\left\lbrace\begin{array}{lllll} −3&\leq& x&\leq& 5\\ −4&\leq& y&\leq& 6 \end{array}\right\rbrace$$

5. On désigne par $\mathcal{A}$ l'aire de la partie du plan délimité par $(\mathcal{C})$, la droite $(OI)$ et les droites d'équations respectives  $x=\alpha$ et $x=0$

a) Calcule $$\int^{0}_{\alpha}\ln(1−x)\mathrm{d}x$$ à l'aide d'une intégration par parties.

b) Démontre que la valeur de $\mathcal{A}$ en unités d'aire est :
$$\mathcal{A}=\dfrac{\alpha^{3}}{3}−2\alpha−(1−\alpha)\ln(1−\alpha).$$

c) Détermine en $cm^{2}$ l'arrondi d'ordre $2$ de la valeur de $\mathcal{A}$ pour $\alpha=−0.65$

6. Soit $f^{−1}$ la bijection réciproque de $f$ par $(\mathcal{C'})$ la courbe représentative de $f^{−1}$ dans le plan muni du repère $(O\;,\ I\;,\ J).$

a) Calcule $f(−1)$

b) Démontrer que le nombre dérivé de $f^{−1}$ en $\ln 2$  existe puis le calculer

c) Construire la courbe $(\mathcal{C'})$ et sa tangente $(\Delta)$ au point d'abscisse $\ln 2$ sur la  figure de la question 4. b).