Bac Maths D, Côte d'Ivoire 2017

Exercice 1

Dans le cadre d'un recensement portant sur le nombre de travailleurs dans les champs d'hévéa, un agent à visité huit (8) exploitations.

Un exploitant voudrait estimer le nombre de travailleurs que prendrait une exploitation de 16 ha d'hévéa.

Pour cela, l'agent recenseur a recueilli les informations consignées dans le tableau ci dessous.

Nombre x de travailleurs24457788Superficie exploitée y (en ha)35671011812

1. Représente le nuage de points correspondant à la série statistique double (X, Y) dans le plan muni d'un repère orthonormé.

On prendra sur l'axe des abscisses 1cm pour 1 travailleur et sur l'axe des ordonnées 1cm pour une superficie de 1ha.

Pour les questions 2), 3), 4) et 5) les résultats seront arrondis à l'ordre 2.

2. Justifie que le point moyen à pour couple de coordonnées (5, 63 ; 7.75).

3. On note V(X) la variance de X, V(Y) la variance de Y et Cov(X, Y) la covariance de X et Y.

Justifie que : V(X)=4.18 ; V(Y)=8.44 et Cov(X, Y)=5.37.

4. a)Calcule le coefficient de corrélation linéaire r de la série (X, Y).

b) Interprète le résultat obtenu précédemment.

5. a) Justifie qu'une équation de la droite (D) d'ajustement de X en Y, par la méthode des moindres carrées, est : y=1.28x+0.54.

b) Trace (D) sur le graphique précédent.

6. Utilise l'ajustement précédent pour répondre à la préoccupation de l'exploitant.

On donnera l'arrondi d'ordre zéro du résultat.

Exercice 2

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct (O, u, v).

L'unité graphique est 2cm.

1. Résous l'équation : zC, z2+(13i)z4=0

2. On pose : zC, P(z)=z3+(1i)z2+(2+2i)z8i

a) Justifie que : P(2i)=0

b) Détermine les nombres complexes a et b tels que : zC, P(z)=(z+2i)(z2+az+b)

c) Déduis des questions précédentes les solutions de l'équation : zC, P(z)=0

3. Soit A, B et C les points d'affixes respectives 2i ; 2+2i et 1+i.

On note D le symétrique de A par rapport au point O

a) Place les points A, B et C dans le plan complexe.

b) Démontre que le triangle ABC est rectangle et isocèle en C.

c) Démontre que les points A, B, C et D sont cocycliques

Problème

Partie A

On considère la fonction f définie sur R par : f(x)=(1x2)ex.

On note (C) la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère orthonormé (O, I, J).

L'unité graphique est 2cm.

1. a) Justifie que : limx+f(x)=0

b) Donne une interprétation graphique du résultat obtenu précédemment.

2. a) Calcule limxf(x)

et limxf(x)x

b) Donne une interprétation graphique du résultat obtenu précédemment.

3. On suppose que f est dérivable sur R et on note f sa fonction dérivée.

a) Démontre que : xR, f(x)=(x22x1)ex

b) Justifie que :

 x] ; 12[]1+2 ; +[, f(x)>0

 x]12 ; 1+2[, f(x)<0

c) Dresse le tableau de variation de f

On ne calculera pas f(12) et f(1+2)

4. Démontre qu'une équation de la tangente (T) à (C) point d'abscisse 0 est : y=x+1.

5. Soit h la fonction définie sur R par : h(x)=(1+x)ex1

On suppose que h est dérivable et on note h sa fonction dérivée.

a) Calcule h(x)

b) Étudie les variations de h

c) Calcule h(0) et dresse le tableau de variation de h

(On ne demande pas de calculer les limites de h.)

d) Justifie que xR, h(x)0

e) Vérifie que : xR, f(x)+x1=(1x)h(x)

f) Déduis des questions précédentes la position relative de (C) et (T)

6. Trace la tangente (T) et la courbe (C)

On prendra f(12)=1.3 et f(1+2)=0.4

Partie B

Soit λ un nombre réel de l'intervalle ]1 ; +[ et A(λ) l'aire en cm2 de la partie du plan limitée par la courbe (C), la droite (OI) et les droites d'équations x=1 et x=λ.

1. Démontre, en utilisant deux intégrations par parties, que :
A(λ)=(16e4(1+λ)2eλ)cm2

2. Détermine la limite de (λ) lorsque λ tend vers +.

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