Bac Maths D, Côte d'Ivoire 2017

Dans le cadre d'un recensement portant sur le nombre de travailleurs dans les champs d'hévéa, un agent à visité huit $(8)$ exploitations.

Un exploitant voudrait estimer le nombre de travailleurs que prendrait une exploitation de $16$ ha d'hévéa.

Pour cela, l'agent recenseur a recueilli les informations consignées dans le tableau ci dessous.

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Nombre }x\text{ de travailleurs}&2&4&4&5&7&7&8&8\\ \hline \text{Superficie exploitée }y\text{ (en ha)}&3&5&6&7&10&11&8&12\\
\hline \end{array}$$

1. Représente le nuage de points correspondant à la série statistique double $(X\;,\ Y)$ dans le plan muni d'un repère orthonormé.

On prendra sur l'axe des abscisses $1\,cm$ pour $1$ travailleur et sur l'axe des ordonnées $1\,cm$ pour une superficie de $1\,ha.$

Pour les questions 2), 3), 4) et 5) les résultats seront arrondis à l'ordre $2.$

2. Justifie que le point moyen à pour couple de coordonnées $(5\;,\ 63\ ;\ 7.75).$

3. On note $V(X)$ la variance de $X\;,\ V(Y)$ la variance de $Y$ et $Cov(X\;,\ Y)$ la covariance de $X$ et $Y.$

Justifie que : $V(X)=4.18$ ; $V(Y)=8.44$ et $Cov(X\;,\ Y)=5.37.$

4. a)Calcule le coefficient de corrélation linéaire $r$ de la série $(X\;,\ Y).$

b) Interprète le résultat obtenu précédemment.

5. a) Justifie qu'une équation de la droite $(\mathcal{D})$ d'ajustement de $X$ en $Y$, par la méthode des moindres carrées, est : $y=1.28x+0.54.$

b) Trace $(\mathcal{D})$ sur le graphique précédent.

6. Utilise l'ajustement précédent pour répondre à la préoccupation de l'exploitant.

On donnera l'arrondi d'ordre zéro du résultat.

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O\;,\ \vec{u}\;,\  \vec{v}).$

L'unité graphique est $2\,cm.$

1. Résous l'équation : $z\in\mathbb{C}\;,\ z^{2}+(1-3\mathrm{i})z-4=0$

2. On pose : $\forall z\in\mathbb{C}\;,\ P(z)=z^{3}+(1-\mathrm{i})z^{2}+(2+2\mathrm{i})z-8\mathrm{i}$

a) Justifie que : $P(−2\mathrm{i})=0$

b) Détermine les nombres complexes $a$ et $b$ tels que : $$\forall z\in\mathbb{C}\;,\ P(z)=(z+2\mathrm{i})(z^{2}+az+b)$$

c) Déduis des questions précédentes les solutions de l'équation : $\forall z\in\mathbb{C}\;,\ P(z)=0$

3. Soit $A$, $B$ et $C$ les points d'affixes respectives $−2\mathrm{i}$ ; $−2+2\mathrm{i}$ et $1+\mathrm{i}.$

On note $D$ le symétrique de $A$ par rapport au point $O$

a) Place les points $A$, $B$ et $C$ dans le plan complexe.

b) Démontre que le triangle $ABC$ est rectangle et isocèle en $C.$

c) Démontre que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont cocycliques

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=(1-x^{2})\mathrm{e}^{-x}.$

On note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O\;,\ I\;,\ J).$

L'unité graphique est $2\,cm.$

1. a) Justifie que : $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=0$

b) Donne une interprétation graphique du résultat obtenu précédemment.

2. a) Calcule $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)$

et $\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{f(x)}{x}$

b) Donne une interprétation graphique du résultat obtenu précédemment.

3. On suppose que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

a) Démontre que : $\forall x\in\mathbb{R}\;,\ f'(x)=(x^{2}-2x-1)\mathrm{e}^{−x}$

b) Justifie que :

$\ast\ \forall x\in]−\infty\ ;\ 1-\sqrt{2}[\cup]1+\sqrt{2}\ ;\ +\infty[\;,\ f'(x)>0$

$\ast\ \forall x\in]1-\sqrt{2}\ ;\ 1+\sqrt{2}[\;,\ f'(x)<0$

c) Dresse le tableau de variation de $f$

On ne calculera pas $f(1-\sqrt{2})$ et $f(1+\sqrt{2})$

4. Démontre qu'une équation de la tangente $(T)$ à $(\mathcal{C})$ point d'abscisse $0$ est : $y=-x+1.$

5. Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $h(x)=(1+x)\mathrm{e}^{−x-1}$

On suppose que $h$ est dérivable et on note $h'$ sa fonction dérivée.

a) Calcule $h'(x)$

b) Étudie les variations de $h$

c) Calcule $h(0)$ et dresse le tableau de variation de $h$

$($On ne demande pas de calculer les limites de $h.)$

d) Justifie que $\forall x\in\mathbb{R}\;,\ h(x)\leq 0$

e) Vérifie que : $\forall x\in\mathbb{R}\;,\ f(x)+x-1=(1-x)h(x)$

f) Déduis des questions précédentes la position relative de $(\mathcal{C})$ et $(\mathcal{T})$

6. Trace la tangente $(\mathcal{T})$ et la courbe $(\mathcal{C})$

On prendra $f(1-\sqrt{2})=1.3$ et $f(1+\sqrt{2})=−0.4$

Soit $\lambda$ un nombre réel de l'intervalle $]1\ ;\ +\infty[$ et $\mathcal{A}(\lambda)$ l'aire en $cm^{2}$ de la partie du plan limitée par la courbe $(\mathcal{C})$, la droite $(OI)$ et les droites d'équations $x=1$ et $x=\lambda.$

1. Démontre, en utilisant deux intégrations par parties, que :
$$\mathcal{A}(\lambda)=\left(\dfrac{16}{\mathrm{e}}−\dfrac{4(1+\lambda)^{2}}{\mathrm{e}^{\lambda}}\right)cm^{2}$$

2. Détermine la limite de $(\lambda)$ lorsque $\lambda$ tend vers $+\infty.$