Bac Maths D, Côte d'Ivoire 2017
Exercice 1
Un exploitant voudrait estimer le nombre de travailleurs que prendrait une exploitation de 16 ha d'hévéa.
Pour cela, l'agent recenseur a recueilli les informations consignées dans le tableau ci dessous.
Nombre x de travailleurs24457788Superficie exploitée y (en ha)35671011812
1. Représente le nuage de points correspondant à la série statistique double (X, Y) dans le plan muni d'un repère orthonormé.
On prendra sur l'axe des abscisses 1cm pour 1 travailleur et sur l'axe des ordonnées 1cm pour une superficie de 1ha.
Pour les questions 2), 3), 4) et 5) les résultats seront arrondis à l'ordre 2.
2. Justifie que le point moyen à pour couple de coordonnées (5, 63 ; 7.75).
3. On note V(X) la variance de X, V(Y) la variance de Y et Cov(X, Y) la covariance de X et Y.
Justifie que : V(X)=4.18 ; V(Y)=8.44 et Cov(X, Y)=5.37.
4. a)Calcule le coefficient de corrélation linéaire r de la série (X, Y).
b) Interprète le résultat obtenu précédemment.
5. a) Justifie qu'une équation de la droite (D) d'ajustement de X en Y, par la méthode des moindres carrées, est : y=1.28x+0.54.
b) Trace (D) sur le graphique précédent.
6. Utilise l'ajustement précédent pour répondre à la préoccupation de l'exploitant.
On donnera l'arrondi d'ordre zéro du résultat.
Exercice 2
L'unité graphique est 2cm.
1. Résous l'équation : z∈C, z2+(1−3i)z−4=0
2. On pose : ∀z∈C, P(z)=z3+(1−i)z2+(2+2i)z−8i
a) Justifie que : P(−2i)=0
b) Détermine les nombres complexes a et b tels que : ∀z∈C, P(z)=(z+2i)(z2+az+b)
c) Déduis des questions précédentes les solutions de l'équation : ∀z∈C, P(z)=0
3. Soit A, B et C les points d'affixes respectives −2i ; −2+2i et 1+i.
On note D le symétrique de A par rapport au point O
a) Place les points A, B et C dans le plan complexe.
b) Démontre que le triangle ABC est rectangle et isocèle en C.
c) Démontre que les points A, B, C et D sont cocycliques
Problème
Partie A
On note (C) la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère orthonormé (O, I, J).
L'unité graphique est 2cm.
1. a) Justifie que : limx→+∞f(x)=0
b) Donne une interprétation graphique du résultat obtenu précédemment.
2. a) Calcule limx→−∞f(x)
et limx→−∞f(x)x
b) Donne une interprétation graphique du résultat obtenu précédemment.
3. On suppose que f est dérivable sur R et on note f′ sa fonction dérivée.
a) Démontre que : ∀x∈R, f′(x)=(x2−2x−1)e−x
b) Justifie que :
∗ ∀x∈]−∞ ; 1−√2[∪]1+√2 ; +∞[, f′(x)>0
∗ ∀x∈]1−√2 ; 1+√2[, f′(x)<0
c) Dresse le tableau de variation de f
On ne calculera pas f(1−√2) et f(1+√2)
4. Démontre qu'une équation de la tangente (T) à (C) point d'abscisse 0 est : y=−x+1.
5. Soit h la fonction définie sur R par : h(x)=(1+x)e−x−1
On suppose que h est dérivable et on note h′ sa fonction dérivée.
a) Calcule h′(x)
b) Étudie les variations de h
c) Calcule h(0) et dresse le tableau de variation de h
(On ne demande pas de calculer les limites de h.)
d) Justifie que ∀x∈R, h(x)≤0
e) Vérifie que : ∀x∈R, f(x)+x−1=(1−x)h(x)
f) Déduis des questions précédentes la position relative de (C) et (T)
6. Trace la tangente (T) et la courbe (C)
On prendra f(1−√2)=1.3 et f(1+√2)=−0.4
Partie B
1. Démontre, en utilisant deux intégrations par parties, que :
A(λ)=(16e−4(1+λ)2eλ)cm2
2. Détermine la limite de (λ) lorsque λ tend vers +∞.
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