Bac Maths D, Cameroun 2010

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O\ ;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ d'unité sur les axes $1\,cm.$

On considère dans l'ensemble $\mathcal{C}$ des nombres complexes, l'équation $$(e)\ :\ z^{2}+(−7+\mathrm{i})Z+12−16\mathrm{i}=0.$$

1. a) Calculer $(5+5\mathrm{i})^{2}.$

b) Résoudre l'équation $(e)$ dans $\mathcal{C}.$

2. Soient les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $1-3\mathrm{i}$ et $6+12\mathrm{i}.$

Calculer $\dfrac{z_{O}−z_{B}}{z_{O}−z_{A}}$, où $z_{O}$ ; $z_{A}$ et $z_{B}$ désignent les affixes respectives de $O$, $A$ et $B$ ; en déduire la nature du triangle $OAB.$

3. Que représente le point $I$ d'affixe $\dfrac{7}{2}−\dfrac{1}{2}\mathrm{i}$ pour le segment $[AB]$ ?

4. Soit $(\Gamma)$ l'ensemble des points $M$ l'affixe $z$ tels que $$\left|z−\dfrac{7}{2}−\dfrac{1}{2}\mathrm{i}\right|=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}.$$

a) Dire si chacune des propositions suivantes sont vraies ou fausse.

i. $O\in(\Gamma)$   

ii. $A\in(\Gamma)$  

iii. $B\in(\Gamma).$

b) Donner une équation cartésienne de $(\Gamma)$ et construire $(\Gamma).$

En $1990$, un pays avait une population de $50$ millions d'habitants.

Par accroissement naturel, sa population augmente de $1.5\%$ par an.

Par ailleurs, on constate une  augmentation annuelle supplémentaire de $0.45$ million d'habitants dès l'année $1991.$

L'unité étant le million d'habitants ; on note $U_{0}=50$ l'effectif de la population en $1990$ et $U_{n}$ le nombre d'habitant en $1990+n.$

1. a) Calculer $U_{1}$ et $U_{2}.$

b) Montre que $U_{n+1}=1.01 U_{n}+0.45.$  

2. On se propose de prévoir directement l'effectif de la population en $2010$ si le modèle d'évolution se poursuit de la même façon ; pour cela on considère la suite $\left(V_{n}\right)$ définie par : $V_{n}=30+U_{n}.$

a) Calculer $V_{1}$ et $V_{2}.$

b) Démontrer que la suite $\left(V_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

c) Exprimer $V_{n}$ puis $U_{n}$ en fonction de $n.$

En déduire alors l'effectif de la population de ce pays en l'an $2010.$

(on prendra le résultat arrondi en million d'habitants).

d) Déterminer par calcul à partir de quelle année l'effectif de la population de ce pays dépassera $100$ millions d'habitants si l'évolution se poursuit de la même manière.

On considère la fonction $f$ de $\mathbb{R}$ définie par  ∶
$$f(x)\begin{array}{ll}\left\lbrace 1+x\mathrm{e}^{\dfrac{x}{2}}\;,&\text{si }x\leq 0\\\\  x\ln x−x+1\;,&\text{si }x>0 \end{array}\right\rbrace$$

Soit $(O\ ;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ un repère orthonormé du plan et $\left(\mathcal{C_{f}}\right)$ la courbe représentative de $f$ dans ce repère.

1. Déterminer le domaine de définition de $f.$

2. a) Étudier la continuité et la dérivabilité de $f$ en $0.$

b) Écrire les équations des demi-tangentes à $\left(\mathcal{C_{f}}\right)$ au point d'abscisse $0.$

3. a) Calculer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty.$      

b) Étudier les branches infinies de la courbe $\left(\mathcal{C_{f}}\right).$

4. Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variation.

5. Tracer les demi-tangentes à $\left(\mathcal{C_{f}}\right)$ au point d'abscisse $0$ et tracer $\left(\mathcal{C_{f}}\right).$  

6. Déterminer l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe $\left(\mathcal{C_{f}}\right)$ et les droites d'équations respectives $y=1$, $x=−1$ et $x=0$ (on pourra utiliser une intégration par partie).   

7. Montrer que la restriction $g$ de $f$ à l'intervalle $]0\ ;\ +\infty[$ est une bijection de l'intervalle $]0\ ;\ +\infty [$ dans un intervalle que l'on précisera.

On se propose de résoudre l'équation différentielle (1) : $y'-2y=x\mathrm{e}^{\dfrac{x}{2}}.$

1. Résoudre l'équation différentielle (2) : $y'-2y=0$ où $y$ désigne une fonction dérivable sur $\mathbb{R}.$

2. Soient $a$ et $b$ deux réels, $u$ la fonction définie par $u(x)=(ax+b)\mathrm{e}^{\dfrac{x}{2}}.$

Déterminer $a$ et $b$ pour que $u$ soit une solution de (1).

3. a) Montre que $v$ est solution de (1) si et seulement si $v-u$ est solution de (2).

b) En déduire les solutions de (1).

c) Déterminer la solution de (1) qui s'annule en $0.$