Bac Maths D, Cameroun 2013

Exercice 1

Le plan P est muni d'un repère orthonormé (O ; u, v).

1. a) Résoudre dans C l'équation z24z25+8=0

b) Écrire les solutions sous forme trigonométrique  

2. a) Soient A, B et C les points du plan d'affixes respectives zA=2+2i, zB=22i et zC=4.

Placer les points A, B et C dans le plan.

b) Calculer le rapport zAzCzBzC et en déduire la nature du triangle CAB puis celle du quadrilatère ABCD   

3. Soit f  la similitude directe du plan complexe qui laisse le point C invariant et qui transforme le point A en O.

a) Donner l'écriture complexe de f.

b) Donner les éléments caractéristiques de f.

Soit g la transformation de P dans lui-même qui à tout point M d'affixe z associe le point M d'affixe z tel que : z=(1i)z+4i.

c) Écrire sous forme algébrique, l'affixe de G, image du barycentre G des points pondérés (A, 3) ; (B, 2) et (C, 3) par g.

Exercice 2

Une boite contient 6 boules vertes et n boules blanches toutes indiscernables au toucher.

Un jeu consiste à tirer successivement sans remise deux boules de la boite.

Si les deux boules sont de même couleur, le joueur gagne 100f et si les boules sont de couleurs différentes, le joueur perd f.

1. Dans cette question, on suppose n=3

a) Calculer la probabilité d'obtenir :

ii. Deux boules de même couleur

iii. Deux boules de couleurs différentes

b) Sachant que la première boule tirée est verte, quelle est la probabilité pour que la deuxième boule tirée soit verte ?

2. Dans cette question, l'entier naturel n est quelconque et supérieur à 3.

On note X la variable aléatoire qui, à chaque tirage successive sans remise de deux boules associe le gain algébrique en francs du joueur.

a) Exprimer en fonction de n, les probabilités des évènements

X=100 et X=100

b) Monter que l'espérance mathématique de X est E(X)=100n213n+30(n+6)(n+5)
       
c) Pour quelles valeurs de n a-t-on E(X)<0 ?  

Exercice 3 Problème

Partie A

Soit f la fonction définie sur ]1 ; +[ par : f(x)=x22x1

Soit la suite (Un) par : \begin{array}{lcl}\left\lbrace &U_{0}&\\ U_{n+1}&=& f\left(U_{n}\right) \end{array}\right.
                                                                                            
1. Montrer que pour tout réel x>1 ; f(x)>1

2. On considère les suites (Vn) et (Wn) telles que,n, Vn=Un1UnetWn=lnVn

a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n>1 ; Un>1.

b) Calculer V1 et W1

c) Démontrer que (Wn) est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme.

d) Exprimer que pour tout entier naturel n ; Wn puis Vn en fonction de n.

e) Un=11(12)2n puis calculer limn+(Un)                                                                     

Partie B

Soit h la fonction définie sur [0 ; +[ par h(x)=x2ex et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormal direct (O ; i, j) avec pour unité 1cm sur l'axe des abscisses et 4cm sur l'axe des ordonnées.

3. a) Déterminer limx+h(x)  

b) Étudier le sens de variation de h.

c) Construire la courbe (C) dans le repère (O ; i, j).

4. a) Déterminer les nombres réels a, b et c pour que la fonction H définie par H(x)=(ax2+bx+c)ex soit une primitive de la fonction h.

b) Soit λ un réel strictement positif.

Calculer le réel :λ0h(x)dx

c) A(λ) est l'aire en cm2 du domaine plan délimité par la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équations x=0 et x=λ.

Déterminer A(λ) puis calculer sa limite lorsque λ tend vers l'infini.

Partie C


On considère les équations différentielles suivantes :(E) : y2y+y=x2et(E)  y2y+y=0  

On considère la fonction ϕ affine définie par ϕ(x)=ax+b.

4. Déterminer a et b pour que la fonction ϕ soit solution de l'équation (E).

5. Soit g une fonction au moins deux fois dérivable sur R.

Démontrer que g est solution de (E) si et seulement si gϕ est solution de (E).

6. Résoudre (E).

7. En déduire les solutions de l'équation (E).

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