Bac Maths D, Cameroun 2013

Le plan $\mathcal{P}$ est muni d'un repère orthonormé $(O\ ;\ \vec{u}\;,\ \vec{v}).$

1. a) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^{2}−4z−25+8=0$

b) Écrire les solutions sous forme trigonométrique  

2. a) Soient $A$, $B$ et $C$ les points du plan d'affixes respectives $z_{A}=2+2\mathrm{i}$, $z_{B}=2-2\mathrm{i}$ et $z_{C}=4.$

Placer les points $A$, $B$ et $C$ dans le plan.

b) Calculer le rapport $\dfrac{z_{A}-z_{C}}{z_{B}-z_{C}}$ et en déduire la nature du triangle $CAB$ puis celle du quadrilatère $ABCD$   

3. Soit $f$  la similitude directe du plan complexe qui laisse le point $C$ invariant et qui transforme le point $A$ en $O.$

a) Donner l'écriture complexe de $f.$

b) Donner les éléments caractéristiques de $f.$

Soit $g$ la transformation de $\mathcal{P}$ dans lui-même qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que : $$z'=(1-\mathrm{i})z+4\mathrm{i}.$$

c) Écrire sous forme algébrique, l'affixe de $G'$, image du barycentre $G$ des points pondérés $(A\;,\ 3)$ ; $(B\;,\ 2)$ et $(C\;,\ -3)$ par $g.$

Une boite contient $6$ boules vertes et $n$ boules blanches toutes indiscernables au toucher.

Un jeu consiste à tirer successivement sans remise deux boules de la boite.

Si les deux boules sont de même couleur, le joueur gagne $100f$ et si les boules sont de couleurs différentes, le joueur perd $f.$

1. Dans cette question, on suppose $n=3$

a) Calculer la probabilité d'obtenir :

ii. Deux boules de même couleur

iii. Deux boules de couleurs différentes

b) Sachant que la première boule tirée est verte, quelle est la probabilité pour que la deuxième boule tirée soit verte ?

2. Dans cette question, l'entier naturel $n$ est quelconque et supérieur à $3.$

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tirage successive sans remise de deux boules associe le gain algébrique en francs du joueur.

a) Exprimer en fonction de $n$, les probabilités des évènements

${X=-100}$ et ${X=100}$

b) Monter que l'espérance mathématique de $X$ est $E(X)=100\dfrac{n^{2}-13n+30}{(n+6)(n+5)}$
       
c) Pour quelles valeurs de $n$ a-t-on $E(X)<0$ ?  

Soit $f$ la fonction définie sur $]1\ ;\ +\infty[$ par : $$f(x)=\dfrac{x^{2}}{2x-1}$$

Soit la suite $\left(U_{n}\right)$ par : $$\begin{array}{lcl}\left\lbrace &U_{0}&\\ U_{n+1}&=& f\left(U_{n}\right) \end{array}\right.$$
                                                                                            
1. Montrer que pour tout réel $x>1\ ;\ f(x)>1$

2. On considère les suites $\left(V_{n}\right)$ et $\left(W_{n}\right)$ telles que,$$\forall\,n\;,\ V_{n}=\dfrac{U_{n}-1}{U_{n}}\quad\text{et}\quad W_{n}=\ln V_{n}$$

a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n>1$ ; $U_{n}>1.$

b) Calculer $V_{1}$ et $W_{1}$

c) Démontrer que $\left(W_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme.

d) Exprimer que pour tout entier naturel $n$ ; $W_{n}$ puis $V_{n}$ en fonction de $n.$

e) $U_{n}=\dfrac{1}{1−\left(\dfrac{1}{2}\right)}^{2n}$ puis calculer $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\left(U_{n}\right)$                                                                     

Soit $h$ la fonction définie sur $[0\ ;\ +\infty[$ par $h(x)=x^{2}\mathrm{e}^{−x}$ et $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal direct $(O\ ;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ avec pour unité $1\,cm$ sur l'axe des abscisses et $4\,cm$ sur l'axe des ordonnées.

3. a) Déterminer $\lim\limits_{x\to+\infty}h(x)$  

b) Étudier le sens de variation de $h.$

c) Construire la courbe $(\mathcal{C})$ dans le repère $(O\ ;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

4. a) Déterminer les nombres réels $a$, $b$ et $c$ pour que la fonction $H$ définie par $H(x)=(ax^{2}+bx+c)\mathrm{e}^{−x}$ soit une primitive de la fonction $h.$

b) Soit $\lambda$ un réel strictement positif.

Calculer le réel :$$\int^{\lambda}_{0}h(x)\mathrm{d}x$$

c) $\mathcal{A}(\lambda)$ est l'aire en $cm^{2}$ du domaine plan délimité par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=\lambda.$

Déterminer $\mathcal{A}(\lambda)$ puis calculer sa limite lorsque $\lambda$ tend vers l'infini.

On considère les équations différentielles suivantes :$$(E)\ :\ y''-2y'+y=x-2\quad\text{et}\quad(E')\ ∶\ y''-2y'+y=0$$  

On considère la fonction $\phi$ affine définie par $\phi(x)=ax+b.$

4. Déterminer $a$ et $b$ pour que la fonction $\phi$ soit solution de l'équation $(E).$

5. Soit $g$ une fonction au moins deux fois dérivable sur $\mathbb{R}.$

Démontrer que $g$ est solution de $(E)$ si et seulement si $g-\phi$ est solution de $(E').$

6. Résoudre $(E').$

7. En déduire les solutions de l'équation $(E).$