Bac Maths D, Cameroun 2015
Exercice 1
On considère l'application $t$ de $\mathbb{C}$ dans $\mathbb{C}$ définie par : $$t(z)=9z^{2}-24z^{3}+50z^{2}-24z+41.$$
1. Montrer que si $z_{0}$ est une racine de $t$, alors $(\overline{z_{0}})$ est aussi une racine de $t.$
2. Vérifier que $\mathrm{i}$ est une racine de $t$ et en déduire une autre racine de $t.$
3. Déterminer trois nombres complexes $a$, $b$ et $c$ tels que : $$\forall\,z\in C\;,\ t(z)=(z^{2}+1)(az^{2}+bz+c).$$
4. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $t(z)=0.$
5. Le plan complexe est rapporté à un repère $(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v})$ $($Unité graphique : $3\,cm).$
On désigne par $A$, $B$, $C$ et $D$ les points d'affixes respectives $$z_{A}=-\mathrm{i}\;,\quad z_{B}=\mathrm{i}\;,\quad z_{C}=\dfrac{4}{3}+\dfrac{5}{3}\mathrm{i}\quad\text{et}\quad z_{D}=\dfrac{4}{3}-\dfrac{5}{3}\mathrm{i}.$$
a. Placer les points $A$, $B$, $C$ et $D.$
b. Montrer que $\dfrac{z_{C}-z_{A}}{z_{D}-z_{A}}\in\mathbb{R}\quad\text{et}\quad\dfrac{z_{C}-z_{B}}{z_{D}-z_{B}}$ où est l'ensemble des imaginaires purs.
c. En déduire la nature exacte des triangles $ACD$ et $CBD.$
d. Montrer que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
Exercice 2
Une urne contient $6$ jetons rouges et $4$ jetons jaunes.
Un jeu consiste à tirer simultanément $2$ jetons de l'urne.
Si les jetons sont de même couleur, le joueur gagne $1000\ FCFA.$
S'ils sont de couleurs différentes, alors le joueur perd $1000\ FCFA.$
1. a) Calculer la probabilité d'obtenir deux jetons de même couleur.
b) calculer la probabilité d'obtenir deux jetons de couleurs différentes.
2. On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque tirage de deux jetons associe le gain ou on la perte du joueur.
a) Donner les différentes valeurs possibles de $X.$
b) Déterminer la loi de probabilité de $X.$
c) Calculer l'espérance mathématique $E(X)$ et la variance $V(X)$ de $X.$
Exercice 3 : Problème
Partie A
On considère l'équation différentielle $(E)\ :\ y''-4y=16x+16.$
1. Résoudre l'équation homogène $(E_{0})$ associée à $(E)\ :\ y''-4y=0.$
2. Déterminer les réels $\alpha$ et $\beta$ tels que le polynôme $p(x)=\alpha x+\beta$ soit une solution particulière de $(E).$
3. Montrer qu'une fonction $f$ est solution de $(E)$ si et seulement si $f-p$ est solution de $(E_{0}).$
4. En déduire toutes les solutions de $(E).$
5. Déterminer parmi ces solutions celle qui vérifie les conditions $f(0)=4$ et $f'(0)=-4.$
Partie B
On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=\mathrm{e}^{2x}+3^{\mathrm{e}-2x}-4.$
1. Montrer que $g(x)=\mathrm{e}^{-2x}\left(\mathrm{e}^{4x}-4\mathrm{e}^{2x}+4\right)\;,\ \forall\,x\in\mathbb{R}.$
2. Étudier le signe de $g(x).$
3. On considère sur $\mathbb{R}$ la fonction $h$ définie par : $$h(x)=\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{2x}-\dfrac{3}{2}\mathrm{e}^{-2x}-4x$$
a) Montrer que $\forall\,x\in\mathbb{R}$,
\begin{eqnarray} h(x)&=& \mathrm{e}^{2x}\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}\mathrm{e}^{-4x}-4x\mathrm{e}^{-2x}\right)\\\\\nonumber &=& \mathrm{e}^{-2x}\left(\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{4x}-\dfrac{3}{2}-4x\mathrm{e}^{2x}\right) \end{eqnarray}
b) Calculer $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}h(x)$ et $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}h(x)$
c) Montrer que $\forall\,x\in\mathbb{R}\;,\ h'(x)=g(x).$
d) En déduire le tableau de variation de $h.$
e) Montrer que l'équation $h(x)=0$ admet une seule solution réelle $\alpha$ telle que $\alpha\in ]1\ ;\ 2[.$
f) Construire la courbe représentative $(\mathcal{C_{h}})$ de la fonction $h$ dans le plan rapporté à un repère orthonormé d'unité $3\,cm$ sur les axes.
4. Déterminer l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe $(\mathcal{C_{h}})$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=\dfrac{1}{2}\ln 3.$
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