Bac Maths D, Cameroun 2019

Un tireur s'entraine sur une cible circulaire comportant trois zones délimitées par les cercles concentriques de rayons respectifs $10cm$, $20cm$ et $30cm.$ 

 

On admet que le tireur atteint toujours la cible, et que la probabilité d'atteindre une zone est proportionnelle à son aire.

 

1. Faire le schéma de la cible à l'échelle $1/10.$

 

2. Soit $p_{1}$ la probabilité d'atteindre la zone de rayon $10cm$ ; $p_{2}$ et $p_{3}$ les probabilités d'atteindre les deux autres zones avec $p_{2}<p_{3}.$

 

a) Justifier que $p_{1}+p_{2}+p_{3}=1.$

 

b) Montrer que $p_{1}=\dfrac{1}{9}$

 

c) Déterminer les probabilités $p_{2}$ et $p_{3}$ d'atteindre les deux autres zones.

 

3. On suppose que le tireur tire cinq fois de suite sur la cible de manière indépendante.

 

Déterminer la probabilité d'atteindre :

 

a) Trois fois la zone de rayon $10cm.$

 

b) Au moins trois fois la zone de rayon $10cm.$

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\left(O\ ;\ \vec{i}\ ;\ \vec{j}\right)$ d'unité graphique $1cm.$

 

1. Placer les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives

$$z_{A}=-11+4\mathrm{i}\ ;\ z_{B}=-3-4\mathrm{i}\text{ et }z_{C}=6+4\mathrm{i}.$$

 

2. Calculer le module et un argument de $\dfrac{z_{A}-z_{B}}{z_{C}-z_{B}}$ et en déduire la nature du triangle $ABC.$

 

3. Soit $(E)$ l'image du point $C$ par la rotation $r$ de centre $B$ et d'angle $\dfrac{\pi}{4}.$

 

Montrer que $z_{E}=-3+\left(8\sqrt{2}-4\right)\mathrm{i}.$

 

Placer le point $E$ dans le plan.

 

4. Soit $D$ l'image du point $E$ par l'homothétie $h$ de centre $B$ et de rapport $\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$

 

Vérifier que l'affixe $D$ est égale à $\overline{z_{B}}$, puis montrer que $D$ est le centre du cercle circonscrit au triangle $ABC.$ 

 

Placer le point $D.$

 

5. Déterminer et construire l'ensemble $(\Gamma)$ des points $M$ du plan tels que :

$$||\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}||=16$$

Ce problème comporte trois partis indépendants $A$, $B$ et $C.$

On considère la suite numérique $(u_{n})$ définie par :

$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} &U_{0}&\\\text{pour tout }n\in\mathbb{N}\;,&U_{n+1}&=-\mathrm{e}^{3U_{n}-3} \end{array}\right\rbrace$$

 

1. Montrer par récurrence que pour tout naturel $n$ on a : $-1\leq U_{n}\leq 0.$

 

2. En utilisant la calculatrice, donner les valeurs approchées à $10^{-3}$ près.

Soit $f$ la fonction numérique définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $I=⦌0\ ;\ 1⦋.$

 

Par $f(x)=1+x\ln x.$

 

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $I$, $(\mathcal{C_{f}})$ la courbe représentative de $f$ dans le repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ et $(T)$ la droite d'équation $y=x.$

 

1. a) Justifier que la limite de $f$ à droite en $0$ est égale à $1.$

 

b) En utilisant le signe de $x\ln x$ sur $I$, montrer que pour tout $x\in I$, on a $f(x)\leq 1.$

 

2. a) Déterminer $f'(x)$ et dresser le tableau de variation de $f.$

 

b) Vérifier que la droite $(T)$ est tangente à la courbe $(\mathcal{C_{f}})$ au pont d'abscisse $1.$

 

3. On note $g$ la fonction numérique définie par $g(x)=1+x\ln x-x$

 

a) Étudier les variations de $g$ sur $I$ et dresser le tableau de variation de $g$ sur cet intervalle.

 

b) En déduire les positions relatives de la courbe $(\mathcal{C_{f}})$ et de la droite $(T).$

 

c) Construire $(\mathcal{C_{f}})$ e $(T)$ dans le même repère. 

 

$($Unité sur les axes : $2cm).$

 

4. Soit le nombre $\alpha$ tel que $0<\alpha<1.$ 

 

On pose $$I(\alpha)=\int_{\alpha}^{1}\left(1-f(x)\right)\mathrm{d}x.$$

 

a) A l'aide d'une intégration par partie, montrer que : $$I(\alpha)=\dfrac{\alpha^{2}}{2}\ln\alpha+\dfrac{1}{4}-\dfrac{\alpha^{2}}{4}$$

 

b) Déterminer la limite de $I(\alpha)$ lorsque $\alpha$ tend vers $0$ à droite.

 

c) Donner une interprétation graphique de la limite trouvée.

 

d) A l'aide des résultats précédentes, détermine l'aire du domaine compris entre la courbe $(\mathcal{C_{f}})$, la droite $(T)$ et l'axe des ordonnées.

On considère les équations différentielles suivantes :

$$(E)\ :\ y'-3y=-3x+1$$

$$(E')\ :\ y'-3y=0$$

 

1. Déterminer un polynôme $P$ du premier degré, solution de $(E).$

 

2. Montrer qu'une fonction $h$ est solution de $(E)$ si et seulement $h-p$ est solution de $(E').$

 

3. Résoudre $(E')$ et en déduire les solutions de $(E).$

 

4. Déterminer la solution de $(E)$ qui prend la valeur $2$ en $1.$