Bac Maths D, Congo 2011

L'espace vectoriel $\mathbb{R^{3}}$ étant rapporté à une base $(\vec{i}\ ;\ \vec{j}\ ;\ \vec{k})$, on considère l'application $f$ de $\mathbb{R^{3}}$ dans $\mathbb{R^{3}}$ qui, à tout vecteur $\vec{u}(x\;,\ y\;,\ z)$ associe le vecteur $\vec{u}'=f(\vec{u})$ dont les composantes $(x'\;,\ y'\;,\ z')$ dans la base $(\vec{i}\ ;\ \vec{j}\ ;\ \vec{k})$ sont définies par :
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x'&=&-x+ay+2z\\ y'&=&x+2y+z\\        z'&=&x+y                 \end{array}\right.$$
 
1) Écrire la matrice de l'application $f$ dans la base $(\vec{i}\ ;\ \vec{j}\ ;\ \vec{k}).$

2) Pour quelles valeurs de $a$, $f$ est-elle bijective ?

3) Dans la suite, on pose $a=1.$

a. Déterminer l'ensemble $\mathcal{B}$ des vecteurs de $\mathbb{R^{3}}$ invariants par $f.$

b. Déterminer le noyau Ker $f$ de $f$ et l'image Im $f$ de $f.$

En déduire une base pour chacun des sous-espaces.
 
4) Soit $\vec{u}$ un vecteur de $\mathbb{R^{3}}$ de composantes $(1\;,\ \alpha\;,\ \beta)$ dans la base $(\vec{i}\ ;\ \vec{j}\ ;\ \vec{k}).$

Calculer $\alpha$ et $\beta$ pour que $\vec{u}\in\text{Ker}f.$

On considère dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes, l'équation : $(E)\ :\ Z^{2}-(1+3\mathrm{i})Z+4+4\mathrm{i}=0$

1) Résoudre dans $\mathbb{C}$, l'équation $(E).$

On appellera $Z_{1}$ la solution imaginaire pure et $Z_{2}$ l'autre solution.

2) Dans le plan complexe $(\mathbb{P})$ rapporté au repère orthonormal direct $(O\ ;\ \vec{u}\ ;\ \vec{v})$, on considère les quatre points $A$, $B$, $C$ et $D$ d'affixes respectives $3$ ; $4\mathrm{i}$ ; $-2+3\mathrm{i}$ ; $1-\mathrm{i}.$

a. Placer les points $A$, $B$, $C$ et $D$ dans le plan $(\mathbb{P}).$

b. Calculer les affixes des vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{DA}.$

c. En déduire la nature du quadrilatère $ABCD.$

1) Montrer qu'il existe deux nombres réels $a$ et $b$ tels que :

$$\forall\,t\in\mathbb{R}\setminus(-1)\;,\quad\dfrac{1-t}{1+t}=a+\dfrac{b}{1+t}$$
 
2) Calculer $$\int^{0}_{x}\dfrac{1−t}{1+t}\mathrm{d}t$$

Soit $f$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie par :

$f(x)=-x+\ln(x+1)^{2}$ où $\ln$ désigne le logarithme népérien.

1) Donner l'ensemble de définition $\mathcal{E_{f}}$ de $f.$

2) Déterminer les variations de $$f.$

3) Dresser le tableau de variation de $f.$

4) Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $]2\ :\ 3[.$

5) Calculer $f(x)$ et $f''(x)$ pour les valeurs de $x$ suivantes : $-2$ ; $-\dfrac{3}{2}$ ; $0$ et $5.$

6) Étudier les branches infinies à $(\mathcal{C})$, courbe représentative de  

7) Tracer la courbe représentative $(\mathcal{C})$ de $f$ dans un plan $(\mathbb{P})$ muni d'un repère orthonormé $(0\ ;\ \vec{i}\ ;\ \vec{j})$ d'unité graphique $1\,cm$, ainsi que les tangentes à cette courbe aux points d'abscisses $2$ et $0.$

Soit $h$, la fonction définie par $h(x)=-f(x)$ pour tout $x\in]-1\ ;\ +\infty[.$

1) Dresser le tableau de variation de $h.$

2) Tracer $(\mathcal{C'})$ la courbe de la fonction $h$ dans le même repère que $(\mathcal{C'}).$