Bac Maths D, Congo 2015

On considère l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes et on rappelle que  $\mathrm{i}^{2}=-1.$

1) Déterminer les racines carrées du nombres complexe $u=6+6\mathrm{i}\sqrt{3}.$

2) Soit l'équation $(E)$ définie dans $\mathbb{C}$ telle que :
$$(E)\ ∶\ 4Z^{3}-6\mathrm{i}\sqrt{3}Z^{2}-(9+3\mathrm{i}\sqrt{3})Z-4=0$$

a. Vérifier que $Z_{0}=-\dfrac{1}{2}$ est solution de l'équation de $(E).$

b. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E).$

3) Le plan complexe $\mathbb{C}$ est rapporté à un repère orthonormal direct $(O\ ;\ \vec{u}\ ;\ \vec{v}).$

On donne les trois points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives :

$Z_{A}=-\dfrac{1}{2}$ ; $Z_{B}=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$ et $Z_{C}=1+\mathrm{i}\sqrt{3}.$

a. Déterminer l'écriture complexe de la similitude plane directe $S$ qui transforme $A$ en $B$ et $B$ en $C.$

b. Déterminer les éléments caractéristiques de la similitude $S.$

Soit $\mathbb{E}$ le plan vectoriel rapporté à sa base canonique $(\vec{i}\ ;\  \vec{j}).$

On donne les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{e_{1}}}=\vec{i}+\vec{j}$  et  $\overrightarrow{\mathrm{e_{2}}}=2\vec{i}+3\vec{j}.$

On considère l'endomorphisme $f$ de $\mathbb{E}$ telle que $$f\left(\overrightarrow{\mathrm{e_{1}}}\right)=\overrightarrow{\mathrm{e_{1}}}\quad\text{et}\quad f\left(\overrightarrow{\mathrm{e_{1}}}\right)=\overrightarrow{0}.$$

1) Vérifier que $\left(\overrightarrow{\mathrm{e_{1}}}\ ;\ \overrightarrow{\mathrm{e_{2}}}\right)$ est une base de $\mathbb{E}$

2) Écrire la matrice de $f$ dans la base $\left(\overrightarrow{\mathrm{e_{1}}}\ ;\ \overrightarrow{\mathrm{e_{2}}}\right).$

3) Soit $u'=x'\vec{i}+y'\vec{j}$ l'image de $u= x\vec{i}+y\vec{j}$ par l'endomorphisme $f$ telle que $f(\vec{u'})=u'.$

a. Montrer que $f(\vec{i})=3\vec{i}+3\vec{j}$  et  $f(\vec{j})=-2\vec{i}-2\vec{j}.$

b. Exprimer les coordonnées $x'$ et $y'$ de $\vec{u'}$ en fonction des coordonnées $x$ et $y$ de $u.$

c. Calculer  $f\circ f(\vec{u}).$

d. En déduire la nature de $f.$

e. Déterminer les caractéristiques de $f.$

On considère la fonction numérique $f$ à variable réelle $x$, définie telle que :  $$f(x)=\dfrac{1}{x\ln x}$$

$(\mathcal{C})$ désigne la courbe représentative de $f$ dans le repère orthonormé $(0\ ;\ \vec{i}\ ;\ \vec{j})$ du plan.
 
1) Montrer que $f$ est définie sur $]0\ ;\ 1[\cup ]1\ ;\ +\infty[.$

2) Vérifier que la dérivée $f'$ de $f$ est $f'(x)=\dfrac{-1−\ln x}{(x\ln x)^{2}}.$
 
3) a. Étudier le signe de $f'.$

b. Dresser le tableau de variation de $f.$

c. Étudier les branches infinies à $(\mathcal{C})$

d. Tracer $(\mathcal{C}).$

4) a. Montrer que $f$ peut encore s'écrire $f(x)=\dfrac{\dfrac{1}{x}}{\ln x}$
 
b. Calculer l'intégrale $$I=\int^{3}_{\mathrm{e}}f(x)\mathrm{d}x.$$

c. En déduire l'aire $\mathcal{A}$ du domaine du plan limité par la courbe $(\mathcal{C})$ de $f$, l'axe $(Ox)$ des abscisses et les droites d'équations $x=\mathrm{e}$ et $x=3.$ Unité graphique : $2\,cm.$

On considère la série statistique $\left(x_{i}\ ;\ y_{j}\ ;\ n_{ij}\right)$ représentée par le tableau à double entrée suivant :
$$\begin{array}{|c||c|c|} \hline x\diagdown y&-1&1\\ \hline -1&2&1\\ \hline 0&3&2\\  \hline 2&1&1\\ \hline \end{array}$$  

1) Déterminer les deux séries marginales.

2) Déterminer les coordonnées $\overline{X}$ et $\overline{Y}$ du point moyen du nuage statistique.

3) Calculer l'inertie du nuage par rapport au point moyen $G.$  

4) Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre $X$ et $Y.$