Bac Maths D, Congo 2017

Le plan complexe est muni du repère orthonormé $(O\ ;\ \vec{u}\ ;\ \vec{v})$ avec $\|\vec{u}\|=\|\vec{v}\|=2\,cm.$

On considère le polynôme $P$ défini par : $P(Z)=Z^{3}+Z^{2}-2.$

1) a. Montrer que $1$ est une racine de $P(Z).$

b. Vérifier que $P(Z)$ peut s'écrire sous la forme : $P(Z)=(Z-1)(Z^{2}+2Z+2).$

c. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $P(Z)=0.$

2) On considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives :

$Z_{A}=1$ ; $Z_{B}=-1+\mathrm{i}$ et $Z_{C}=-1-\mathrm{i}$  

a. Construire le triangle $ABC.$

b. Déterminer l'affixe $Z_{D}$ du point $D$ telle que $ABCD$ soit un parallélogramme.

3) Soit $R$ la rotation de centre $A$ et d'angle de mesure $\dfrac{\pi}{3}.$

a. Montrer que l'expression complexe de $R$ est telle que :
$$Z'=\left(\dfrac{1}{2}+\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)Z+\dfrac{1}{2}- \mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$

b. Soit $M$ et $M'$ les points d'affixes respectives $Z=x+\mathrm{i}y$ et $Z'=x'+\mathrm{i}y'.$
 
Exprimer les coordonnées $x'$ et $y'$ du point $M'$ en fonction de $x$ et $y.$

Soit $(\vec{i}\ ;\ \vec{j})$ une base du plan vectoriel $\mathbb{E}$, $f$ désigne l'endomorphisme de $\mathbb{E}$ tel que :  
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} 5f(\vec{i})&=& a\vec{i}+4\vec{j}\\\\ f(\vec{j})&=&\dfrac{4}{5}\vec{i}-\dfrac{3}{5}\vec{j} \end{array}\right.$$

1) Déterminer la matrice de $f$ dans la base $(\vec{i}\ ;\ \vec{j}).$

2) Déterminer l'expression analytique de $f.$

3) Déterminer le réel $a$ pour que $f$ soit une symétrie vectorielle.

4) On pose $a=3.$

a. Déterminer les éléments caractéristiques de $f$ (base et direction).

b. Déterminer un vecteur directeur $\left(\overrightarrow{\mathrm{e_{1}}}\right)$ de la base.

c. Déterminer un vecteur directeur $\left(\overrightarrow{\mathrm{e_{2}}}\right)$ de la direction.

d. Soit $\overrightarrow{\mathrm{e_{1}}}=2\mathrm{i}+\vec{j}$  et  $\overrightarrow{\mathrm{e_{2}}}=-\mathrm{i}+2\vec{j}$ deux vecteurs.

Démontrer que $\left(\overrightarrow{\mathrm{e_{1}}}\ ;\ \overrightarrow{\mathrm{e_{2}}}\right)$ est une base de $\mathbb{R}^{2}.$

e. Donner la matrice de $f$ relativement à la base $\left(\overrightarrow{\mathrm{e_{1}}}\ ;\ \overrightarrow{\mathrm{e_{2}}}\right).$

On considère la fonction $g$ définie sur $]0\ ;\ +\infty[$ par : $g(x)=-\dfrac{1}{x}+\ln x.$

1) Calculer les limites de $g$ en $0^{+}$ et en $+\infty.$

2) a. Calculer la dérivée $g'$ de $g$ sur $]0\ ;\ +\infty[.$

b. Dresser le tableau de variation de $g.$

3) a. Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une solution unique $\alpha\in\left]\dfrac{3}{2}\ ;\ 2\right[.$

b. En déduire le signe de $g(x)$ sur $]0\ ;\ +\infty[.$

On considère la fonction $f$ définie sur $]0\ ;\ +\infty[$ par : $$f(x)=x-(x-1)\ln x.$$

On désigne par $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\ ;\ \vec{j}).$

1) Calculer les limites de $f$ en $0^{+}$ et en $+\infty.$

2) a. Montrer que la dérivée $f'$ de $f$ est $f'(x)=-g(x).$

c. Dresser le tableau de variation de $f.$

On prendra $\alpha=1.7$ et $f(\alpha)=1.3.$

3) On admet que l'équation $f(x)=0$, admet deux solutions $x_{0}$ et $x_{1}$ avec $x_{0}\in\left]\dfrac{1}{2}\ ;\ 2\right[$  et  $x_{1}\in\left]\dfrac{7}{2}\ ;\ 4\right[.$

a. Étudier les branches infinies à $(\mathcal{C}).$

b. Tracer la courbe $(\mathcal{C}).$

4) Tracer la courbe $(\mathcal{C'})$ de la fonction $h$ définie par $h(x)=-f(x)$ dans le même repère que $(\mathcal{C}).$

On rappelle que la fonction de répartition d'une variable aléatoire $X$ est donnée par le tableau :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline X&\left]−\infty\ ;\ x_{1}\right[&\left[x_{1}\ ;\ x_{2}\right[&\left[x_{2}\ ;\ x_{3}\right[&\ldots&\left[x_{n}\ ;\  +\infty\right[\\
\hline F(X)&0&P_{1}&P_{1}+P_{2}&\ldots&P_{1}+P_{2}+\ldots+P_{n}\\ \hline  \end{array}$$

Où $P_{i}$ est la probabilité associée à la valeur $x_{i}.$

Soit la fonction de répartition $F$ d'une variable aléatoire $X$, définie par le tableau ci-après
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline X&]−\infty\ ;\ 2[&[2\ ;\ 3[&[3\ ;\ 4[&[4\ ;\ 5[&[5\ ;\ +6[&[6\ ;\ +\infty\\  \hline F(X)&0&\dfrac{1}{6}&\dfrac{5}{24}&\dfrac{7}{24}&\dfrac{1}{3}&1\\ \hline  \end{array}$$
 
1) Donner les valeurs exactes prises par $X.$

2) Établir la loi de probabilité de $X.$

3) Calculer l'espérance mathématique $E(X).$