Bac Maths D, Congo 2017

Exercice 1

Le plan complexe est muni du repère orthonormé (O ; u ; v) avec u=v=2cm.

On considère le polynôme P défini par : P(Z)=Z3+Z22.

1) a. Montrer que 1 est une racine de P(Z).

b. Vérifier que P(Z) peut s'écrire sous la forme : P(Z)=(Z1)(Z2+2Z+2).

c. Résoudre dans C l'équation P(Z)=0.

2) On considère les points A, B et C d'affixes respectives :

ZA=1 ; ZB=1+i et ZC=1i  

a. Construire le triangle ABC.

b. Déterminer l'affixe ZD du point D telle que ABCD soit un parallélogramme.

3) Soit R la rotation de centre A et d'angle de mesure π3.

a. Montrer que l'expression complexe de R est telle que :
Z=(12+i32)Z+12i32

b. Soit M et M les points d'affixes respectives Z=x+iy et Z=x+iy.
 
Exprimer les coordonnées x et y du point M en fonction de x et y.

Exercice 2  

Soit (i ; j) une base du plan vectoriel E, f désigne l'endomorphisme de E tel que :  
{5f(i)=ai+4jf(j)=45i35j

1) Déterminer la matrice de f dans la base (i ; j).

2) Déterminer l'expression analytique de f.

3) Déterminer le réel a pour que f soit une symétrie vectorielle.

4) On pose a=3.

a. Déterminer les éléments caractéristiques de f (base et direction).

b. Déterminer un vecteur directeur (e1) de la base.

c. Déterminer un vecteur directeur (e2) de la direction.

d. Soit e1=2i+j  et  e2=i+2j deux vecteurs.

Démontrer que (e1 ; e2) est une base de R2.

e. Donner la matrice de f relativement à la base (e1 ; e2).

Exercice 3

Partie A

On considère la fonction g définie sur ]0 ; +[ par : g(x)=1x+lnx.

1) Calculer les limites de g en 0+ et en +.

2) a. Calculer la dérivée g de g sur ]0 ; +[.

b. Dresser le tableau de variation de g.

3) a. Montrer que l'équation g(x)=0 admet une solution unique α]32 ; 2[.

b. En déduire le signe de g(x) sur ]0 ; +[.

Partie B 

On considère la fonction f définie sur ]0 ; +[ par : f(x)=x(x1)lnx.

On désigne par (C) sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé (O, i ; j).

1) Calculer les limites de f en 0+ et en +.

2) a. Montrer que la dérivée f de f est f(x)=g(x).

c. Dresser le tableau de variation de f.

On prendra α=1.7 et f(α)=1.3.

3) On admet que l'équation f(x)=0, admet deux solutions x0 et x1 avec x0]12 ; 2[  et  x1]72 ; 4[.

a. Étudier les branches infinies à (C).

b. Tracer la courbe (C).

4) Tracer la courbe (C) de la fonction h définie par h(x)=f(x) dans le même repère que (C).

Exercice 4 

On rappelle que la fonction de répartition d'une variable aléatoire X est donnée par le tableau :
X] ; x1[[x1 ; x2[[x2 ; x3[[xn ; +[F(X)0P1P1+P2P1+P2++Pn

Pi est la probabilité associée à la valeur xi.

Soit la fonction de répartition F d'une variable aléatoire X, définie par le tableau ci-après
X] ; 2[[2 ; 3[[3 ; 4[[4 ; 5[[5 ; +6[[6 ; +F(X)016524724131
 
1) Donner les valeurs exactes prises par X.

2) Établir la loi de probabilité de X.

3) Calculer l'espérance mathématique E(X).

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