Bac Maths D, Congo 2019

1. On considère, dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes, l'équation :  
$$(E)\ ∶\  Z^{2}-4Z+8=0$$

a) Résoudre l'équation $(E).$

b) Écrire la solution dont la partie imaginaire est négative sous la forme trigonométrique.

2. Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct $(O\ ;\ \vec{u}\ ;\ \vec{v} )$, on considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $2-2\mathrm{i}$  et $2+2\mathrm{i}.$

a) Écrire sous forme algébrique, le complexe $U=\dfrac{Z_{B}}{Z_{A}}.$
 
b) En déduire la nature du triangle $OAB.$

3. On considère l'application $f$ du plan $\mathbb{P}$ dans lui-même qui à tout point $M$ d'affixe $Z$ associe le point $M'$ d'affixe $Z'$ tel que $Z'=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\dfrac{\pi}{3}}Z$

a) Préciser la nature de $f.$

b) Écrire sous forme trigonométrique, puis sous forme algébrique, l'affixe $Z_{A'}$ du point $A'$ tel que $A'=f(A).$

c) En déduire les valeurs exactes de $\cos\dfrac{\pi}{12}$ et $\sin\dfrac{\pi}{12}.$

L'espace vectoriel $\mathbb{E}$ est rapporté à sa base canonique $B=(\vec{i}\  ;\ \vec{j}).$

Soit $f$ l'endomorphisme de $\mathbb{E}$ défini par son expression analytique : quel que soit le vecteur $\vec{u}(x\ ;\ y)$ de $\mathbb{E}$, l'image de $\vec{u}$ par $f$ est le vecteur $\vec{u'}(x'\ ;\ y')$ tel que :
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x'&=&2x+3y\\  y'&=&-x-2y \end{array}\right.$$

1. Déterminer $f(\vec{i})$ et $f(\vec{j}).$

2. En déduire la matrice de $f$ dans la base $(\vec{i}\ ;\ \vec{j}).$
 
3. Soit $V(3\ ;\ 4)$ un vecteur de $\mathbb{E}.$
 
Donner son image $V'$ par l'endomorphisme $f.$
 
4. Montrer que $f$ est un endomorphisme bijectif.
 
5. a) Calculer $f\circ f(\vec{i})$ et $f\circ f(\vec{j}).$
 
b) En déduire la nature de $f.$
 
c) Déterminer alors la base et la direction de $f.$

Soit $g$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie sur $\mathbb{R_{+}^{\ast}}$ par $g(x)=\dfrac{1}{x}$ et $(\mathcal{C'})$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé direct $(O\ ;\ \vec{i}\ ;\ \vec{j})$, d'unité graphique : $2\,cm.$

1. Calculer la dérivée $g'(x$) et donner son signe sur $\mathbb{R_{+}^{\ast}}.$

2. Sachant que $\lim\limits_{x\rightarrow 0+}g(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}g(x)=0$, dresser le tableau de variation de $g.$

Dans le même repère défini dans la partie $I$, on considère la courbe $(\mathcal{C})$ représentative de la fonction $f$ définie sur $]0\ ;\ +\infty[$ par : $$f(x)=\dfrac{\ln x}{x}+\dfrac{1}{x}.$$

1. a) Résoudre dans $\mathbb{R_{+}^{\ast}}$ l'équation $f(x)=g(x).$

b) En déduire la position relative des courbes $(\mathcal{C})$ et $(\mathcal{C'}).$

2. a) Calculer $\lim\limits_{x\rightarrow 0+}f(x)$ et $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x).$  

b) Montrer que $f'(x)=\dfrac{-\ln x}{x^{2}}$ sur $\mathbb{R_{+}^{\ast}}$ et étudier son signe pour tout $x\in\mathbb{R_{+}^{\ast}}.$

c) Établir le tableau de variation de $f.$

3. En remarquant que les axes de coordonnées sont asymptotes aux courbes $(\mathcal{C})$ et $(\mathcal{C'})$, tracer soigneusement ces deux courbes dans le repère $(O\ ;\ \vec{i}\ ;\ \vec{j})$ donné.

On note $h$ et $k$ les fonctions définies sur $\mathbb{R_{+}^{\ast}}$ par : $$h(x)=\dfrac{1}{2}(\ln x)^{2}\quad\text{et}\quad k(x)=f(x)-g(x).$$

1. Démontrer que $h$ est une primitive de $k$ sur $\mathbb{R_{+}^{\ast}}$
 
2. Calculer en $cm^{2}$, l'aire $\mathcal{A}$ de la portion du plan comprise entre les courbes $(\mathcal{C})$ et $(\mathcal{C'})$, et les droites d'équations $x=1$ et $x=\mathrm{e}.$

Soit $X$ une variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant :
$$\begin{array}{|c||c|c|c|c|} \hline x_{i}&0&1&a&3\\ \hline p\left(x=x_{i}\right)&\dfrac{1}{8}&\dfrac{3}{8}&\dfrac{3}{8}&b\\ \hline \end{array}$$

1. Calculer l'espérance mathématique de $X$ en fonction de $a$ et $b.$

2. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que : $E(X)=\dfrac{3}{2}.$
   
3. Calculer la variance de $X$ et l'écart-type.

4. Donner la fonction de répartition de $X.$