Bac Maths D, Maroc 2010

On considère, dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O\;,\  \vec{i}\;,\ \vec{j}\;,\ \vec{k})$, le point $A(0\;,\ -2\;,\ 0)$, $B(1\;,\ 1\;,\ -4)$ et $C(0\;,\ 1\;,\ -4)$ et la sphère $(\mathcal{S})$ d'équation ∶ $x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x-4y-6z-11=0.$

1. Montrer que le centre de la sphère $(\mathcal{S})$ est le point $\Omega(1\;,\ 2\;,\ 3)$ et son rayon est $5.$

2. a) Montrer que $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=4\vec{j}+3\vec{k}$ et en déduire que $4y+3z+8=0$ est une équation cartésienne du plan $(ABC).$

b) Calculer $d(\Omega\;,\ (ABC))$ puis en déduire que le plan $(ABC)$ est tangent à la sphère $(\mathcal{S}).$

3. Soit $(\Delta)$ la droite passant par le point $\Omega$ et perpendiculaire au plan $(ABC).$

a) Démontrer que $$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x&=&1\\ y&=&2+4t\\ z&=&3+3t\end{array}\right.$$

$(t\in\mathbb{R})$ est une représentation paramétrique de la droite $(\Delta).$

b) Démontrer que le triplet de coordonnées de $H$ point d'intersection de la droite $(\Delta)$ et le plan $(ABC)$ est $(1\;,\ -2\;,\ 0).$

c) Vérifier que $H$ est le point de contact du plan $(ABC)$ et la sphère $(\mathcal{S}).$

1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$ l'équation : $z^{2}-8z+64=0$

2. On considère, dans le plan muni d'un repère orthonormé direct $(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v})$, les points $A$, $B$, et $C$ d'affixes respectives $a=8\mathrm{i}$, $b=4\sqrt{3}-4\mathrm{i}$ et $c=2(4\sqrt{3}+4\mathrm{i}).$

Soit $z$ l'affixe d'un point $M$ du plan et $z'$ l'affixe du point $M'$ image de $M$ par la rotation $R$ de centre $O$ et d'angle $\dfrac{4\pi}{3}$

a) Montrer que ∶ $z'=\left(−\dfrac{1}{2}-\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)z$

b) Vérifier que le point $B$ est l'image du point $A$ par la rotation $R$

c) Montrer que $\dfrac{a-b}{c-b}=\dfrac{1}{2}+\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ puis écrit le nombre $\dfrac{a-b}{c-b}$ sous forme trigonométrique.

d) En déduire que le triangle $ABC$ est équilatéral.

Une urne contient $8$ boules rouges portant les nombres $111\;222\;33$ (Les boules sont indiscernables au toucher).

On tire au hasard, successivement et sans remise, deux boules de l'urne.

1. Soit $A$ l'évènement : tirer deux boules portant le nombre $2$

Montrer que ∶ $p(A)=\dfrac{3}{28}$ et que $p(B)=\dfrac{13}{28}$

2. Soit $X$ la variable aléatoire qui est à chaque tirage associe le nombre de boules portant un nombre impair.

a) Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire $X.$

b) Montrer que $p(X=1)=\dfrac{15}{28}$

c) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X.$

On considère la suite numérique $\left(U_{n}\right)$ définie par :

$U_{0}=1$ et $U_{n+1}=\dfrac{3U_{n}}{21+U_{n}}$ pour tout entier naturel $n$ de $\mathbb{N}$

1. Montrer que $U_{n}>0$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}.$

2. Montrer que $U_{n+1}<\dfrac{1}{7}U_{n}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$

3. Montrer que la suite $\left(U_{n}\right)$ est décroissante et qu'elle est convergente.

4. a) Montrer par récurrence que ∶ $U_{n}<\left(\dfrac{1}{7}\right)^{n}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}^{\ast}.$

b) Déterminer la limite de la suite $\left(U_{n}\right).$

I. On considère la fonction numérique $g$ définie sur $]0\;,\ +\infty[$ par :
$$g(x)=x^{3}-x-2\ln x+3$$

1. a) Vérifier que $3x^{3}-x-2=(x-1)(3x^{2}+3x+2)\forall x$ de de l'intervalle $]0\;,\ +\infty[$

2. a) Vérifier que ∶ $g'(x)=\dfrac{(x-1)(3x^{2}+3x+2)}{x}\forall x$ de l'intervalle $]0\;,\ +\infty[$

b) En déduire que le signe de $g'(x)$ est celui de $x-1$ sur $]0\;,\ +\infty[$

3. a) Montrer que la fonction $g$ est décroissante sur $I$, intervalle $]0\;,\ 1]$ et qu'elle est croissante sur $I$, intervalle $[1\;,\ +\infty[.$

b) En déduire que $g(x)>0$ pour tout $x$ de $I$, intervalle $]0\;,\ +\infty[$

$($Remarquer que $g(1)>0).$

II. On considère la fonction numérique $f$ définie sur $]0\;,\ +\infty[$ par :
$$f(x)=x-1+x+1+\dfrac{\ln x}{x^{2}}$$

Soit $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ $($unité : $1\,cm).$

1. Montrer que ∶ $f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^{3}}\forall x$ de l'intervalle $]0\;,\ +\infty[$ puis en déduire que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $]0\;,\ +\infty[$

2. a) Montrer que $\lim\limits{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=-\infty$ et donner une interprétation géométrique à ce résultat

b) Montrer que $\lim\limits{x\rightarrow +\infty}\dfrac{x-1+\ln x}{x^{2}}=0$  et que $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$

$\left(\text{On rappelle que }\lim\limits{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\ln x}{x^{2}}=0\right)$

c) Montrer que la droite $(\Delta)$ d'équation $y=x-1$ est une asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$ au voisinage de $+\infty.$

3. Montrer que $y=3(x-1)$ est une équation de la droite tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ au point de coordonnées $(1\;,\ 0).$

4. Construire la droite $(\Delta)$ et la courbe $(\mathcal{C}).$

(On admettra que la courbe $(\mathcal{C})$ possède un point d'inflexion unique dont on ne demande pas de déterminer).

5. a) En utilisant une intégration par parties, montrer que ∶ $$\int_{1}^{\mathrm{e}}\dfrac{\ln x}{x^{2}}\mathrm{d}x=1-\dfrac{2}{\mathrm{e}}$$

$\left(\text{Poser }u'(x)=\dfrac{1}{x^{2}}\text{ et }v(x)=\ln x\right)$

b) Montrer que l'aire du domaine plan limité par la courbe $(\mathcal{C})$, la droite $(\Delta)$ et les droites d'équations $x=0$ et $x=\mathrm{e}$ est égale à $\left(1-\dfrac{1}{\mathrm{e}}\right)cm^{2}$