Bac Maths D, Maroc 2011
Exercice 1
b) Résoudre dans R l'équation : ex−3ex−2=0
2. Résoudre dans R l'équation : ex+1−e−x≥0
Exercice 2
2. On considère, dans le plan muni d'un repère orthonormé direct (O, →u, →v), les points A et B d'affixes respectives a=3+3i et b=3−3i.
a) Écrire sous forme trigonométrique chacun des deux nombres complexes a et b.
b) Montrer que b′ l'affixe du point B′ image du point B par la translation de vecteur →OA est 6.
c) Montrer que ∶b−b′a−b′=i puis en déduire le triangle AB′B est rectangle isocèle en B′.
d) Déduire de ce qui précède que le quadrilatère OAB′B est un carré.
Exercice 3
U0=1 et Un+1=6Un1+15Un pour tout entier naturel n de N
1. a) Vérifier que : Un+1−13=Un−1315Un+1 pour tout n de N
b) Montrer par récurrence que ∶ Un>13 pour tout n de N
2. On considère la suite numérique (Vn) définie par : Vn=1−13Un pour tout n de N
Montrer que (Vn) est une suite géométrique de raison 1/6 puis exprimer Vn en fonction de n.
3. Montrer que Un=13−2(16)n pour tout n de N et en déduire limx→+∞Un
Exercice 4
1. a) Montrer que g′(x)=x+1x pour tout x de I
b) Montrer que la fonction g est croissante sur I
2. En déduire que g(x)≥0 sur [1, +∞[ et que g(x)≤0 sur ]0, 1] (Remarquer que g(1)=0).
II. On considère la fonction numérique f définie sur I par : f(x)=(x−1x)lnx
Soit (C) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé (O, →i, →j) (unité : 1cm).
1. a) Montrer que limx→0+f(x)=+∞ et donner une interprétation géométrique à ce résultat
b) Montrer que limx→+∞f(x)=+∞ et limx→+∞f(x)x=0.
(Remarquer que f(x)x=(x−1x)lnxx) pour tout x de I
c) En déduire que la courbe (C) admet une branche parabolique au voisinage de +∞ dont on précisera la direction.
2. a) Montrer que f′(x)=g(x)x2 pour tout x de I
b) En déduire que la fonction f est croissante sur [1, +∞[ et décroissante sur ]0, 1]
c) Dresser le tableau de variation de la fonction f sur I.
3. Construire (C) (on admettra que la courbe (C) possède un seul point d'inflexion d'abscisse comprise entre 1.5 et 2).
4. a) Montrer que H : ⟼12(lnx)2 et une fonction primitive de la fonction h : x⟼lnxx sur I
b) Montrer que ∫e1lnxxdx=1
c) Montrer, à l'aide d'une intégration par parties, que ∶ ∫e1lnxdx=1
5. a) vérifier que f(x)=lnx−lnxx pour tout x de I
b) Montrer que l'aire du domaine plan limité par la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équations x=0 et x=e est égale à 0.5cm2.
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