Bac Maths D, Maroc 2011

Exercice 1

1. a) Résoudre dans R l'équation : x22x3=0.

b) Résoudre dans R l'équation : ex3ex2=0

2. Résoudre dans R l'équation : ex+1ex0

Exercice 2

1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes C l'équation : z26z+18=0

2. On considère, dans le plan muni d'un repère orthonormé direct (O, u, v), les points A et B d'affixes respectives a=3+3i et b=33i.

a) Écrire sous forme trigonométrique chacun des deux nombres complexes a et b.

b) Montrer que b l'affixe du point B image du point B par la translation de vecteur OA est 6.

c) Montrer que ∶bbab=i puis en déduire le triangle ABB est rectangle isocèle en B.

d) Déduire de ce qui précède que le quadrilatère OABB est un carré.

Exercice 3

On considère la suite numérique (Un) définie par :

U0=1 et Un+1=6Un1+15Un pour tout entier naturel n de N

1. a) Vérifier que : Un+113=Un1315Un+1 pour tout n de N

b) Montrer par récurrence que  ∶ Un>13 pour tout n de N

2. On considère la suite numérique (Vn) définie par : Vn=113Un pour tout n de N

Montrer que (Vn) est une suite géométrique de raison 1/6 puis exprimer Vn en fonction de n.

3. Montrer que Un=132(16)n pour tout n de N et en déduire limx+Un

Exercice 4

I. On considère la fonction numérique g définie sur I=]0, +[ par : g(x)=x1+lnx

1. a) Montrer que g(x)=x+1x pour tout x de I

b) Montrer que la fonction g est croissante sur I

2. En déduire que g(x)0 sur [1, +[ et que g(x)0 sur  ]0, 1] (Remarquer que g(1)=0).

II. On considère la fonction numérique f définie sur I par : f(x)=(x1x)lnx

Soit (C) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé (O, i, j) (unité : 1cm).

1. a) Montrer que limx0+f(x)=+ et donner une interprétation géométrique à ce résultat

b) Montrer que limx+f(x)=+ et limx+f(x)x=0.

(Remarquer que f(x)x=(x1x)lnxx) pour tout x de I

c) En déduire que la courbe (C) admet une branche parabolique au voisinage de + dont on précisera la direction.

2. a) Montrer que f(x)=g(x)x2 pour tout x de I

b) En déduire que la fonction f est croissante sur [1, +[ et  décroissante sur  ]0, 1]

c) Dresser le tableau de variation de la fonction f sur I.

3. Construire (C) (on admettra que la courbe (C) possède un seul point d'inflexion d'abscisse comprise entre 1.5 et 2).

4. a) Montrer que H : 12(lnx)2 et une fonction primitive de la fonction h : xlnxx sur I

b) Montrer que e1lnxxdx=1

c) Montrer, à l'aide d'une intégration par parties, que ∶ e1lnxdx=1

5. a) vérifier que f(x)=lnxlnxx pour tout x de I

b) Montrer que l'aire du domaine plan limité par la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équations x=0 et x=e est égale à 0.5cm2.

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