Bac Maths D, Maroc 2012

Exercice 1

On considère, dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct (O, i, j;, k), le point A(3, 0, 0), B(0, 0, 3) et C(0, 2, 2) et la sphère (S) de centre Ω(1, 1, 1) et de rayon 3.

1. a) Montrer que ABAC=6i3j+6K et en déduire que 2xy+2z+6=0 est une équation cartésienne du plan (ABC).

b) Calculer d(Ω, (ABC)) puis en déduire que le plan (ABC) est tangent à la sphère (S).

2. Soit (Δ) la droite passant par le point Ω et perpendiculaire au plan (ABC).

a) Démontrer que
{x=1+2ty=1tz=1+2t

(tR) est une représentation paramétrique de la droite (D).

b) Démontrer que le triplet de coordonnées de H point de contact du plan (ABC) et la sphère (S) est (1, 2, 1).

Exercice 2

On considère, dans le plan muni d'un repère orthonormé direct (O, u, v), les points A, B et C d'affixes respectives a, b et c tels que ∶ a=2i, b=67i et c=8+3i.

1. a) Montrer que ∶ caba=i

b) En déduire que le triangle ABC est isocèle et rectangle en A.

2. Soit z l'affixe d'un point M du plan et z l'affixe du point M image de M par la rotation R de centre Ω et d'angle π2

a) Vérifier que l'affixe du point Ω est w=72i

b) Montrer que : z=iz+9+5i

c) Montrer que le point C est l'image du point A par la rotation R.

Exercice 3

On considère la suite numérique (Un) définie par :

U0=3 et Un+1=4Un+33Un+4 pour tout entier naturel n de N

1. Montrer par récurrence que Un>1 pour tout n de N.

2. On pose ∶ Vn=Un1Un+1 pour tout n de N

a) Vérifier que : 1vn=2Un+1 pour tout n de N et en déduire que 1Vn>0

b) Montrer que ∶ Un=1+Vn1Vn pour tout n de N

3. a) Montrer que (Vn) est une suite géométrique de raison 17 et exprimer Vn en fonction de n.

b) Montrer que limn+Vn=0 et en déduire la limite de la suite (Un).

Exercice 4

Une urne contient cinq boules rouges, quatre boules blanches et trois boules vertes (les boules sont indiscernables au toucher).

On tire au hasard, simultanément, trois boules de l'urne.

1. Montrer que la probabilité de tirer trois ou les rouges est 17

2. Montrer que la probabilité de tirer trois boules de même couleur est 344

3. Montrer que la probabilité de tirer une boules rouge est 3744

Exercice 5

On considère la fonction numérique f définie sur R par : f(x)=x+ex1ex+1.

Soit (C) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé (O, j, j)

1. Montrer que ∶ f(x)=f(x) pour tout x de R et en déduire que le point O est centre de Symétrie de la courbe (C).

2. Vérifier que ∶ f(x)=x+1exx+1 pour tout x de R.

(Il est préférable d'utiliser cette expression de f(x) pour traiter les questions qui suivent).

3. a) Montrer que ∶ f(x)=1+(2ex(ex+1)2x de R et vérifier que ∶ f(0)=23

b) Montrer que la fonction f est croissante sur R.

c) Montrer que y=23x est une équation de la droite (T) tangente à la courbe (C) au point O

4. a) Montrer que limx+f(x)=+

b) Calculer limx+[f(x)(x+1)] et en déduire que la droite (D) d'équation y=x+1 est une asymptote à la courbe (C) au voisinage de +

c) Montrer que la courbe (C) est au-dessous de la droite (D).

5. Construire les deux droites (D) et (T) et la courbe (C).

(On rappelle que O est un centre de symétrie de la courbe (C)).

6. a) Montrer que la fonction H : xxln(ex+1) est une fonction primitive de la fonction h : x1ex+1sur R

b) En déduire que ln201ex+1lnxdx=ln4ln3

c) Calculer, en cm2, l'aire du domaine plan limité par la courbe (C), la droite (D) et les droites d'équations x=0 et x=ln2.

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