Bac Maths D, Maroc 2012
Exercice 1
1. a) Montrer que →AB∧→AC=6i−3→j+6→K et en déduire que 2x−y+2z+6=0 est une équation cartésienne du plan (ABC).
b) Calculer d(Ω, (ABC)) puis en déduire que le plan (ABC) est tangent à la sphère (S).
2. Soit (Δ) la droite passant par le point Ω et perpendiculaire au plan (ABC).
a) Démontrer que
{x=1+2ty=1−tz=1+2t
(t∈R) est une représentation paramétrique de la droite (D).
b) Démontrer que le triplet de coordonnées de H point de contact du plan (ABC) et la sphère (S) est (−1, 2, −1).
Exercice 2
1. a) Montrer que ∶ c−ab−a=i
b) En déduire que le triangle ABC est isocèle et rectangle en A.
2. Soit z l'affixe d'un point M du plan et z′ l'affixe du point M′ image de M par la rotation R de centre Ω et d'angle −π2
a) Vérifier que l'affixe du point Ω est w=7−2i
b) Montrer que : z′=−iz+9+5i
c) Montrer que le point C est l'image du point A par la rotation R.
Exercice 3
U0=3 et Un+1=4Un+33Un+4 pour tout entier naturel n de N
1. Montrer par récurrence que Un>1 pour tout n de N.
2. On pose ∶ Vn=Un−1Un+1 pour tout n de N
a) Vérifier que : 1−vn=2Un+1 pour tout n de N et en déduire que 1−Vn>0
b) Montrer que ∶ Un=1+Vn1−Vn pour tout n de N
3. a) Montrer que (Vn) est une suite géométrique de raison 17 et exprimer Vn en fonction de n.
b) Montrer que lim et en déduire la limite de la suite \left(U_{n}\right).
Exercice 4
On tire au hasard, simultanément, trois boules de l'urne.
1. Montrer que la probabilité de tirer trois ou les rouges est \dfrac{1}{7}
2. Montrer que la probabilité de tirer trois boules de même couleur est \dfrac{3}{44}
3. Montrer que la probabilité de tirer une boules rouge est \dfrac{37}{44}
Exercice 5
Soit (\mathcal{C}) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé (O\;,\ \vec{j}\;,\ \vec{j})
1. Montrer que ∶ f(−x)=-f(x) pour tout x de \mathbb{R} et en déduire que le point O est centre de Symétrie de la courbe (\mathcal{C}).
2. Vérifier que ∶ f(x)=x+1-\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x+1} pour tout x de \mathbb{R}.
(Il est préférable d'utiliser cette expression de f(x) pour traiter les questions qui suivent).
3. a) Montrer que ∶ f'(x)=1+\left(\dfrac{2\mathrm{e}^{x}}({\mathrm{e}^{x}+1}\right)^{2}\forall x de \mathbb{R} et vérifier que ∶ f'(0)=\dfrac{2}{3}
b) Montrer que la fonction f est croissante sur \mathbb{R}.
c) Montrer que y=\dfrac{2}{3}x est une équation de la droite (T) tangente à la courbe (\mathcal{C}) au point O
4. a) Montrer que \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty
b) Calculer \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}[f(x)-(x+1)] et en déduire que la droite (\mathcal{D}) d'équation y=x+1 est une asymptote à la courbe (\mathcal{C}) au voisinage de +\infty
c) Montrer que la courbe (\mathcal{C}) est au-dessous de la droite (\mathcal{D}).
5. Construire les deux droites (\mathcal{D}) et (T) et la courbe (\mathcal{C}).
(On rappelle que O est un centre de symétrie de la courbe (\mathcal{C})).
6. a) Montrer que la fonction H\ :\ x\longmapsto x-\ln(\mathrm{e}^{x}+1) est une fonction primitive de la fonction h\ :\ x\longmapsto\dfrac{1}{\mathrm{e}^{x}+1}sur \mathbb{R}
b) En déduire que \int^{\ln 2}_{0}\dfrac{1}{\mathrm{e}^{x}+1}\ln x\mathrm{d}x=\ln 4-\ln 3
c) Calculer, en cm^{2}, l'aire du domaine plan limité par la courbe (\mathcal{C}), la droite (\mathcal{D}) et les droites d'équations x=0 et x=\ln 2.
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