Bac Maths D, Maroc 2013

On considère, dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\;,\ \vec{k})$, le point $A(0\;,\ 0\;,\ 1)$, $B(1\;,\ 1\;,\ 1)$ et $C(2\;,\ 1\;,\ 2)$ et la sphère $(\mathcal{S})$ de centre $\Omega(1\;,\ -1\;,\ 0)$ et de rayon $\sqrt{3}.$

1. Montrer que $x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x+2y-1=0$ est une équation cartésienne de la sphère $(\mathcal{S})$ et vérifier que le point $A$ appartient à la sphère $(\mathcal{S}).$

2. a) Montrer que $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\vec{i}-\vec{j}-\vec{k}$ et en déduire que $x-y-z+1=0$ est une équation cartésienne du plan $(ABC).$

b) Calculer $d(\Omega\;,\ (ABC))$ puis en déduire que le plan $(ABC)$ est tangent à la sphère $(\mathcal{S})$ en $A.$

3. Soit $(\Delta)$ la droite passant par le point $\Omega$ et perpendiculaire au plan $(ABC).$

a) Démontrer que
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x&=&1+t\\ y&=&−1-t\\ z&=&-t \end{array}\right.$$

$(t\in\mathbb{R})$ est une représentation paramétrique de la droite $(\Delta).$

b) En déduire les coordonnées des deux points d'intersection de la droite $(\Delta)$ et la sphère $(\mathcal{S}).$

Exercice 2

1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$ l'équation : $z^{2}-8z+25=0$

2. On considère, dans le plan muni d'un repère orthonormé direct $(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v})$, les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $a$, $b$ et $c$ tels que :

$a=3+3\mathrm{i}$, $b=4-3\mathrm{i}$ et $c=10+3\mathrm{i}$ et la translation $T$ de vecteur $\overrightarrow{BC}$

a) Montrer que l'affixe du point $D$ image du point $A$ par la translation $T$ est : $d=10+9\mathrm{i}$

b) Vérifier que ∶ $\dfrac{b-a}{d-a}=-\dfrac{1}{2}(1+\mathrm{i})$ puis écrire le nombre $−\dfrac{1}{2}(1+\mathrm{i})$ sous une forme Trigonométrique.

c) Montrer que ∶ $\left(\overrightarrow{\overrightarrow{AD}\;,\ \overrightarrow{AD}}\right)=\dfrac{5\pi}{4}[2\pi]$

On considère la suite numérique $\left(U_{n}\right)n\in\mathbb{N}^{\ast}$ définie par :

$U_{0}=2$ et $U_{n+1}=\dfrac{1}{5}U_{n}+\dfrac{4}{5}$ pour tout entier naturel $n$ de $\mathbb{N}$

1. Vérifier que : $U_{n+1}-1=\dfrac{1}{5}\left(U_{n}-1\right)$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$

2. a) Montrer par récurrence que $U_{n}>1$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}.$

b) Montrer que la suite $\left(U_{n}\right)n\in\mathbb{N}^{\ast}$ est décroissante.

c) En déduire que la suite $\left(U_{n}\right)n\in\mathbb{N}^{\ast}$ est convergente.

3. Soit $\left(V_{n}\right)$ la suite numérique telle que : $V_{n}=U_{n}-1$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}.$

a) Montrer que $\left(V_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{5}$ et exprimer $V_{n}$ en fonction de $n.$

b) En déduire que $U_{n}=\left(\dfrac{1}{5}\right)^{n}+1$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ puis calculer la limite de la suite $\left(U_{n}\right)$

Un sac contient $9$ jetons indiscernables au toucher : quatre jetons blancs, trois jetons noirs et deux jetons verts.

On tire au hasard, simultanément, trois jetons du sac.

1. Soient les deux évènements suivants :

$A$ Tirer trois jetons de même couleur et $B$ Tirer trois jetons de couleurs différentes deux à deux.

Montrer que $p(A)=\dfrac{5}{84}$ et que et que $p(B)=\dfrac{2}{7}$

2. Soit $X$ la variable aléatoire qui est à chaque tirage associe le nombre de jetons noirs tirés.

a) Vérifier que les valeurs prises par la variable aléatoire $X$ sont : $0\;,\ 1\;,\ 2$ et $3.$

b) Montrer que $p(X=2)=\dfrac{3}{14}$ et $p(X=1)=\dfrac{15}{28}$

c) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X.$

On considère la fonction numérique $g$ définie sur l'intervalle $]−\infty\;,\ 0]$ par :
$$g(x)=x^{2}-x-\ln x$$

I. a) vérifier que $2x^{2}-x-1=(2x+1)(x-1)$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$

b) Montrer que $g′(x)=\dfrac{2x^{2}-x-1}{x}$ pour tout $x$ de $]0\;,\ +\infty[$ et en déduire que la fonction $g$ est décroissante sur l'intervalle $]0\;,\ 1[$ et qu'elle est croissante sur l'intervalle $]1\;,\ +\infty[$

1. Montrer que $g(x)\geq 0$ pour tout $x$ de $]0\;,\ +\infty[$ $($Remarquer que $g(1)=0).$

II. On considère la fonction numérique $f$ définie sur $]0\;,\ +\infty[$ par :
$f(x)=x^{2}-1-(\ln x)^{2}$

Soit $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ $($unité : $1\,cm).$

1. a) Montrer que $\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=-\infty$ et donner une interprétation géométrique à ce résultat

b) Montrer que $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{f(x)}{x}=+\infty.$

$\left(\text{remarque que }f(x)=x^{2}\left(1-\dfrac{1}{x^{2}}-\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)^{2}\right)\right)$

c) En déduire que la courbe $(\mathcal{C})$ admet, au voisinage de $+\infty$, une branche parabolique dont on précisera la direction.

2. a) Montrer que ∶ $f′(x)=2\left(\dfrac{x^{2}-\ln x}{x}\right)$ pour tout $x$ de $]0\;,\ +\infty[$

b) Vérifier que $\dfrac{g(x)}{x}+1=\dfrac{x^{2}-\ln x}{x}$ pour tout $x$ de  $]0\;,\ +\infty[$ et en déduire que la fonction $f$ est croissante sur $]0\;,\ +\infty[.$

3. a) Montrer que $y=2x-2$ est une équation cartésienne de la droite $(T)$ tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ au point $A(1\;,\ 0).$

b) Construire dans le même repère$(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$, la droite $(T)$ et la courbe $(\mathcal{C}).$

$($On admettra que $A$ est le seul point d'inflexion de la courbe $(\mathcal{C})).$

4. a) Vérifier que $H\ :\ x\longmapsto x(\ln x-1)$ est une fonction primitive de la fonction $h\ :\ x\longmapsto\ln x$ sur $]−\infty\;,\ 0]$

Montrer que ∶ $$\int^{\mathrm{e}}_{1}\ln x\mathrm{d}x=1.$$

b) Montrer, à l'aide d'une intégration par partie, que ∶ $$\int^{\mathrm{e}}_{1}(\ln x)^{2}\mathrm{d}x=\mathrm{e}-2.$$

c) Montrer que l'aire du domaine plan limité par la courbe $(\mathcal{\mathcal{C}})$, l'axe des abscisses et les droites d'équations :

$x=1$ et $x=\mathrm{e}$ est égale à $\dfrac{1}{3}(\mathrm{e}^{3}-6\mathrm{e}+ 8)cm^{2}.$