Bac Maths D, Maroc 2014

On considère, dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\;,\ \vec{k})$, le point $A(0\ ;\ 0\ ;\ 1)$, le plan $(\mathcal{P})$ d'équation $2x+y-2z-7=0$ et la sphère $(\mathcal{S})$ de centre $\Omega(0\ ;\ 3\ ;\ -2)$ et de rayon $3.$

1. a) Montrer que :
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x&=&2t\\ y&=&t\\ z&=&1-2t\\ \end{array}\right\rbrace$$

$(t\in\mathbb{R})$ est une représentation paramétrique de la droite $(\Delta)$ passant par le point et perpendiculaire au plan $(\mathcal{P}).$

b) Vérifier que $H(2\;,\ 1\;,\ -1)$ est le point d'intersection du plan $(\mathcal{P})$ et de la droite $(\Delta).$

2. a) Montrer que $\overrightarrow{\Omega A}\wedge\vec{u}=3(\vec{i}+2\vec{j}+2\vec{k})$ où $\vec{u}=2\vec{i}+\vec{j}-2\vec{k}$

b) Montrer que la distance du point $\Omega$ à la droite $(\Delta)$ est égale à $3.$

c) En déduire que la droite $(\Delta)$ est tangente à la sphère $(\mathcal{S})$ et vérifier que $H$ est le point de contact de la droite $(\Delta)$ et de la sphère $(\mathcal{S}).$

On considère la suite numérique $\left(U_{n}\right)n\in\mathbb{N}^{\ast}$ définie par : $U_{1}=5$ et $U_{n+1}=\dfrac{5U_{n}-4}{1+U_{n}}$ pour tout entier naturel $n\in\mathbb{N}^{\ast}$

1. Montrer par récurrence que $U_{n}>2$ pour tout entier naturel $n\in \mathbb{N}^{\ast}$

2. On considère la suite numérique $\left(V_{n}\right)n\in\mathbb{N}^{\ast}$ définie par : $V_{n}=3U_{n}-2$ pour tout entier naturel $n\in\mathbb{N}^{\ast}$

a) Montrer que $V_{n+1}=\dfrac{1+U_{n}}{U_{n}-2}$ pour tout entier $n\in \mathbb{N}^{\ast}$ et  montrer que la suite $\left(V_{n}\right)n\in\mathbb{N}^{\ast}$ est arithmétique de raison $1.$

b) Exprimer $V_{n}$ en fonction de $n$ et en déduire que ∶ $U_{n}=2+\dfrac{3}{n}$ pour $n\in\mathbb{N}^{\ast}$

c) Déterminer $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}U_{n}$

Pour déterminer les deux questions d'un examen oral dans un concours de recrutement,le candidat tire au hasard, successivement et sans remise, deux cartes d' une urne contenant $10$ cartes : huit cartes concernant les mathématiques et deux cartes concernant la langue française (on suppose que les cartes sont indiscernables au toucher).

1. On considère l'évènement

$A$ : Tirer deux cartes concernant la langue française et

$B$ : Tirer deux cartes concernant deux manières différentes.

Montrer que $p(A)=\dfrac{1}{45}$ et que $p(B)=\dfrac{16}{45}$

2. Soit $X$ la variable aléatoire qui est à chaque tirage associe le nombre de cartes tirées concernant la langue française.

a) Vérifier que les valeurs prises par la variable aléatoire $X$ sont : $0.1$ et $2.$

b) Montrer que $p(X=0)=\dfrac{28}{45}$ puis donner la loi de probabilité de la variable aléatoire

1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$ l'équation : $z^{2}-4z+5=0$

2. On considère, dans le plan muni d'un repère orthonormé direct $(O\;,\ \vec{e_{1}}\;,\ \vec{e_{2}})$, les points $A$, $B$, $C$, $D$ et $\Omega$ d'affixes respectives : $a=2+\mathrm{i}$, $b=2-\mathrm{i}$, $c=\mathrm{i}$, $d=-\mathrm{i}$ et $w=1$

a) Montrer que ∶ $\dfrac{a-w}{b-w}=\mathrm{i}.$

b) En déduire que le triangle $\Omega AB$ est rectangle et isocèle en $\Omega.$

3. Soit $z$ l'affixe d'un point $M$ du plan et $z'$ l'affixe du point $M'$ image de $M$ par la rotation $R$ de centre $C$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$

a) Montrer que : $z'=\mathrm{i}z+1-\mathrm{i}$

b) Vérifier que $R(A)=C$ et $R(D)=B$

c) Montrer que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ appartiennent au même cercle dont on déterminera le centre.

On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$f(x)=(x\mathrm{e}^{x}-1)\mathrm{e}^{x}$$

Soit $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ $($unité : $2\,cm).$

1. Montrer que $\lim\limits_{n\rightarrow -\infty}f(x)=0$ et donner une interprétation géométrique à ce résultat

2. a) Montrer que $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\dfrac{f(x)}{x}=+\infty.$

b) En déduire que la courbe $(\mathcal{C})$ admet, au voisinage de $+\infty$, une branche parabolique dont on précisera la direction.

3. a) Montrer que : $f'(x)=\mathrm{e}^{x}(\mathrm{e}^{x}-1+2x\mathrm{e}^{x})$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ et vérifier que $f'(0)=0$

b) Montrer que $\mathrm{e}^{x}-1\geq 0$ pour tout $x$ de $[0\;,\ +\infty[$ et que $\mathrm{e}^{x}-1\leq 0$ pour tout $x$ de $]−\infty\;,\ 0]$

c) Montrer que la fonction $f$ est croissante sur $[0\;,\ +\infty[$ et qu'elle est décroissante sur $]-\infty\;,\ 0]$ puis dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$

4. a) Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $[0\;,\ +\infty[$ et que : $\dfrac{1}{2}<\alpha<1.$

$($On admettra que $\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{\dfrac{1}{2}}<1)$

b) Construire, dans le repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$, la courbe $(\mathcal{C}).$

$($on admettra que la courbe $(\mathcal{C})$ possède un seul point d'inflexion qu'on ne demande pas de déterminer$).$

5. Montrer à l'aide d'une intégration par parties, que : $$\int^{\dfrac{1}{2}}_{0}x\mathrm{e}^{2x}\mathrm{d}x=\dfrac{1}{4}$$

6. Calculer, en $cm^{2}$, l'aire du domaine plan limité par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=\dfrac{1}{2}$

d) Tracer, dans le même repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$, la courbe $(\mathcal{C'})$ représentant la fonction $h.$