Bac Maths D, Niger 2013

 

1. a) Trouver les racines carrées du nombre complexe $5−12\mathrm{i}$ 

 

b) Résoudre dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes l'équation : $$(z+2\mathrm{i})(z^{2}−(1+4\mathrm{i})z−5+5\mathrm{i})=0$$                  

 

2. Dans le plan complexe, on donne les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $2\mathrm{i}$, $2−\mathrm{i}$ et  $−1−3\mathrm{i}.$ 

 

Soit $S$ la similitude plane directe laissant le point $B$ invariant et transformant $A$ en $C.$ 

 

a) Trouver la relation liant l'affixe $z$ d'un point $M$ et l'affixe $z'$ de son image $M'$ par $S.$ 

 

b) Déterminer les éléments caractéristiques de $S.$ 

On considère la suite numérique définie par son premier terme $U_{0}=1$, et $\forall\,n\in\mathbb{N}U_{n+1}=\dfrac{U_{n}}{U_{n}+3}.$                                                                                                                                         

 

1. Calculer $U_{1}$ et $U_{2}.$ 

 

2. Soit $\left(V_{n}\right)$ la suite numérique définie par : $$\forall\,n\in \mathbb{N}\;,\ V_{n}=\ln\left(\dfrac{U_{n}}{U_{n}+2}\right).$$

 

a) Montrer que la suite $\left(V_{n}\right)$ est une suite arithmétique dont on précisera le premier terme et la raison. 

 

b) Exprimer $V_{n}$ puis $U_{n}$ en fonction de $n.$ 

A. On considère l'équation différentielle : $$y''−2y'+y =−x+3\quad(1).$$  

 

1. Vérifier que la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=−x+1$ est une solution de l'équation différentielle (1). 

 

2. a) Démontrer qu'une fonction $h$ deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ est solution de (1) si et seulement si la fonction $h−g$ est solution de l'équation différentielle :    $$y''−2y'+y=0\quad (2).$$  

 

b) Résoudre l'équation différentielle (2). 

 

c) En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (1). 

 

d) Trouver la solution de (1) vérifiant les conditions $h(0)=0$ et $h'(0)=−1$ 

 

B. On considère la fonction numérique $U$ définie sur $\mathbb{R}$ par $U(x)=x\mathrm{e}^{x}-1.$ 

 

1. Étudier les variations de $U$ et dresser son tableau de variation.

 

2. a) Montrer que l'équation $U_{x}=0$ admet une unique solution $\alpha.$ 

 

b) Vérifier que $0.5<\alpha<0.6$

 

c) En déduire le signe de $U_{x}$ suivant les valeurs du réel $x.$

  

C. Le plan est muni d'un repère orthonormé $\left(O\;,\ \vec{I}\;,\ \vec{J}\right)$ $($unité : $2\,cm).$ 

 

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $$f(x)=(x−1)(\mathrm{e}^{x}−1)$$ et $(\mathfrak{C})$ sa courbe représentative dans le repère $\left(O\;,\ \vec{I}\;,\ \vec{J}\right).$

 

1. a) Calculer la dérivée $f'$ de $f$ et vérifier que, pour tout réel $x$, $f'(x)=U_{x}.$ 

 

b) Dresser le tableau de variation de $f.$ 

 

2. a) Montrer que la droite $(D)$ d'équation $y=−x+1$ est asymptote à $(\mathfrak{C})$ en $−\infty.$ 

 

b) Préciser les positions relatives de $(\mathfrak{C})$ et $(D).$

 

3. Tracer la droite $(D)$ et la courbe $(\mathfrak{C})$ dans le repère $\left(O\;,\ \vec{I}\;,\ \vec{J}\right).$

 

On prendra $\alpha=0.55.$ 

 

4. Soit $\lambda$ un réel strictement négatif. 

 

a) Calculer l'aire $\mathcal{A}(\lambda)$ de la partie du plan comprise entre la courbe $(\mathfrak{C})$, la droite $(D)$ et les droites d'équations $x=\lambda$ et $x=0$ 

 

b) Calculer $\lim\limits_{\lambda\rightarrow-\infty}\mathcal{A}(\lambda).$ 

 

5. a) Montrer que la restriction de $f$ à $]−\infty\;,\ 0]$ est une bijection de $]−\infty\;,\ 0]$ sur un intervalle $J$ que l'on précisera. 

 

b) Tracer la courbe représentative $(\Gamma)$ de la réciproque de cette bijection sur le même graphique que $(\mathfrak{C}).$