Bac Maths D, Niger 2014

 

On considère dans l'ensemble $\mathcal{C}$ des nombres complexes, le polynôme $P$ défini par :  

$$P(z)=z^{3}+(−7+2\mathrm{i})z^{2}+(15−4\mathrm{i})z−25+10\mathrm{i}.$$  

 

1. a) Vérifier que : $P(5−2\mathrm{i})=0$ 

 

b) Résoudre dans $\mathcal{C}$ l'équation $P(z)=0.$ 

 

2. Soit $S$ la similitude plane directe de centre $I$ d'affixe $z_{1}=−3−2\mathrm{i}$ et qui transforme le point $A$ d'affixe $z_{A}=1+2\mathrm{i}$ en $B$ d'affixe $z_{B}=5−2\mathrm{i}.$ 

 

a) Déterminer $f$, l'application complexe associée à $S$ 

 

b) Déterminer les éléments caractéristiques de $S$ 

On considère la suite réelle $\left(U_{n}\right)$ définie par : $$U_{0}=4\quad\text{et}\quad\forall\,n\in\mathbb{N}\;,\ U_{n+1}=U_{n}^{2}+2U_{n}$$

 

On considère la suite réelle $\left(V_{n}\right)$ définie par : $$V_{n}=\ln\left(U_{n}+1\right).$$

 

1. Montrer que $\left(V_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. 

 

2. Exprimer $V_{n}$ puis $U_{n}$ en fonction de $n.$

 

3. Calculer la somme $S_{n}=V_{0}+V_{1}+V_{2}\ldots+V_{n}$ en fonction de $n.$ 

A. On considère l'équation différentielle ∶ $$y''−y'=\mathrm{e}^{x}\quad(1).$$  

 

1. Vérifier que la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x\mathrm{e}^{x}$ est une solution de l'équation différentielle (1).

 

2. a) Démontrer qu'une fonction $h$ deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ est solution de (1) si et seulement si la fonction $h−g$ est solution de l'équation différentielle :    

$$Y''−Y'=0\quad(2)$$   

 

b) Résoudre l'équation différentielle (2). 

 

c) En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (1). 

 

d) Trouver la solution de (1) vérifiant les conditions $h(0)=−4$ et $h'(0)=1$           

 

B. On considère la fonction numérique $U$ définie sur $\mathbb{R}$ par $U(x)=x\mathrm{e}^{x}−4.$ 

 

1. Étudier les variations de $U$ et dresser son tableau de variation. 

 

2. a) Montrer que l'équation $U(x)=0$ admet une unique solution $\alpha.$ 

 

b) Vérifier que $1.2<\alpha<1.3$ 

 

c) En déduire le signe de $U(x)$ suivant les valeurs du réel $x.$ 

 

C. Le plan est muni d'un repère orthonormé $\left(O\;,\ \vec{I}\;,\ \vec{J}\right)$ $($unité : $1\,cm).$ 

 

Soit $f$ la fonction définie sur $]0\;,\ +\infty[$ par $f(x)=\mathrm{e}^{x}−4\ln x$ et $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans le repère $\left(O\;,\ \vec{I}\;,\ \vec{J}\right).$

 

1. a) Calculer la dérivée $f'$ de $f$ et vérifier que, pour tout réel $x$ non nul : 

$$f'(x)=\dfrac{u(x)}{x}$$

                                                                                                                                        

b) Dresser le tableau de variation de $f.$ 

 

2. Tracer la courbe $(\mathcal{C})$ dans le repère orthonormé $\left(O\;,\ \vec{I}\;,\ \vec{J}\right)$ $($on prendra $\alpha=1.25)$ 

 

3. Soit $\lambda$ un réel tel que $0<\lambda<1.$ 

 

a) Calculer l'aire $\mathcal{A}(\lambda)$ de la partie du plan comprise entre la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=\lambda$ et $x=1.$ 

 

b) Calculer la limite de $\mathcal{A}(\lambda)$ quand $\lambda$ tend vers $0.$ 

 

4. Soit $g$ la restriction de $f$ à l'intervalle $[2\;,\ +\infty[.$ 

 

a) Montrer que $g$ est une bijection de l'intervalle $[2\;,\ +\infty[$ sur un intervalle $J$ que l'on précisera. 

 

b) Tracer la courbe représentative $(\Gamma)$ de la réciproque de $g$ dans le même repère que $(\mathfrak{C}).$ 

 

5. Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l'équation ∶ $f(x)=m$, où $m$ est un paramètre réel.